复变函数留数.ppt

第五章第五章 留数留数5.1 孤立奇点 1.定义 2.分类 3.性质 4.零点与极点的关系 5.函数在无穷远点的状态 1.定义例如-z=0为孤立奇点-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇点-z=1为孤立奇点定义xyo这说明奇点未必是孤立的。2.分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：特点：没有负幂次项特点：只有有限多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项定义 设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点;有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。3.性质q若z0为f(z)的可去奇点q若z0为f(z)的m(m 1)阶极点例如：z=1为f(z)的一个三阶极点，z=i为f(z)的一阶极点。q若z0为f(z)的本性奇点4.零点与极点的关系定义 不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成则称z=z0为f(z)的m 阶零点。例如：定理事实上，必要性得证！充分性略！例如定理:证明“”若z0为f(z)的m 阶极点例解显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点综合5.函数在无穷远点的状态函数在无穷远点的状态定义规定 1.留数的定义 2.留数定理 3.留数的计算规则 4.在无穷远点的留数5.2 留数(Residue)1.留数的定义定义设 z0 为 f(z)的孤立奇点，f(z)在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)1 的系数 c1 称为f(z)在 z0 的留数，记作 Res f(z),z0 或 Res f(z0)。由留数定义,Res f(z),z0=c1(1)2.留数定理定理证明Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：用2i 除上式两边得:得证！A 求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数。一般求 Res f(z),z0 是采用将 f(z)在 z0 邻域内展开成洛朗级数求系数 c1 的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。以下就三类孤立奇点进行讨论：3.留数的计算规则规则I规则II事实上，由条件A当m=1时，式(5)即为式(4).规则III事实上，例1解例2解例3解例4解故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。如是f(z)的三阶极点。-该方法较规则II更简单！A(2)由规则II 的推导过程知，在使用规则II时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更简单。如3.在无穷远点的留数在无穷远点的留数定义由此得定理如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），那么f(z)在 所有孤立奇点 的留数和等于零。5.3 留数在定积分计算上的应用在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如（2）利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；利用留数计算积分的特点：（1）利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；例1.计算积分其中常数a1.解：令而且当t从0增加到时，z按反时针方向绕圆C:|z|=1一周.因此于是应用留数定理，只需计算在|z|1内极点处的留数，就可求出I.上面的被积函数有两个极点：显然因此被积函数在|z|1，那么z=i包含在Cr的内区域内,沿 Cr取的积分，得现在估计积分我们有因此令 ，就得到结论2.应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.例3.计算积分解：取r0，则有函数 在时有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析,取积分区域如图，而只要取r1.于是我们有于是我们有其中 表示Cr 上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的.结论3.应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高1次.其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等于零.结论1：其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次.结论2：其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高1次.结论3：练习.计算下列积分.例4.计算积分函数 只是在z=0有一个一阶极点.解：取 ，使于是我们有作积分路径如右图,在上半平面上作以原点为心,为半径的半圆 的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的.现在求当 趋近于0时，的极限.围道积分法其中h(z)是在z=0的解析函数.因此由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，|h(z)|有上界当 时于是当 充分小时从而令 ，应用结论3的推导过程，可以得到所求积分收敛，并且本章作业本章作业1.（3），（5），（9）；8.（3），（5），（6），（7）；9.（1），（2），（5）；10.（2），（3）；11.（1）；12.（1）；13.（1），（4），（5）.类型1：类型2：类型3：例1.在扩充复平面讨论下列函数奇点类型.例2.计算.例3.计算.解：例4.判定下列级数的敛散性.解：例5.将下列函数在给定点展开成幂级数.解：