最基础最全——张量分析..ppt

l l A-1 A-1 指标符号指标符号l附附A A 张量分张量分析析l例例如如,三三维维空空间间任任意意一一点点P P在在笛笛卡卡儿儿坐坐标系标系l用指标符用指标符号表示为号表示为li指标指标取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于n n的所有正整数的所有正整数ln维数维数 l l数数l l变量变量l l指标符号指标符号l l一、一、求和约定求和约定和哑指和哑指标标 l l A-1 A-1 指标符指标符号号l lA A 张量分张量分析析l l约定约定l求和指标与所用的字母无关l指标重复只能一次l指标范围l用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维l l A-1 A-1 指标符指标符号号l l代表代表代表代表27272727项项项项的和式的和式的和式的和式l l一、一、求和约定求和约定和哑指和哑指标标 l l双重求和双重求和双重求和双重求和l l二、自由指二、自由指标标 l l筒写为筒写为筒写为筒写为 lj 哑指标哑指标哑指标哑指标li自由指标自由指标自由指标自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同l l A-1 A-1 指标符指标符号号l l三三、Kronecker-Kronecker-符符号号和和置置换换符符号号(RicciRicci符符号号)l lKronecker-Kronecker-符号符号定定义义l l A-1 A-1 指标符指标符号号l l三三、Kronecker-Kronecker-符符号号和和置置换换符符号号(RicciRicci符号符号)l lKronecker-Kronecker-符号符号定定义义l l A-1 A-1 指标符指标符号号l l直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的基矢量基矢量基矢量基矢量 l l三三、Kronecker-Kronecker-符符号号和和置置换换符符号号(RicciRicci符符号号)l lRicciRicci符号符号定义定义l l A-1 A-1 指标符指标符号号l偶次置换l奇次置换l l三三、Kronecker-Kronecker-符符号号和和置置换换符符号号(RicciRicci符符号号)l lRicciRicci符号符号定义定义l l A-1 A-1 指标符指标符号号l lKronecker-Kronecker-和和RicciRicci符符号号的的关关系系l lA-A-2 2 矢矢量量的的基基本本运运算算 l l在三维空间中在三维空间中在三维空间中在三维空间中,任意任意任意任意矢量都可以表示为三个矢量都可以表示为三个矢量都可以表示为三个矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合基矢量的线性组合基矢量的线性组合基矢量的线性组合 l la ai i i i为矢量为矢量为矢量为矢量a a在基矢量在基矢量在基矢量在基矢量e ei i i i下的分解系数下的分解系数下的分解系数下的分解系数,也称矢也称矢也称矢也称矢量的分量量的分量量的分量量的分量 l l一一、矢量点、矢量点积积 l lA A 张量分张量分析析l lA-A-2 2 矢矢量量的的基基本本运运算算 l l一一、矢量点、矢量点积积 l l二二、矢矢量量叉叉积积 l lA A 张量分张量分析析l lA-A-2 2 矢矢量量的的基基本本运运算算 l l二二、矢矢量量叉叉积积 l lA A 张量分张量分析析l l证证证证明明明明l lA-A-2 2 矢矢量量的的基基本本运运算算 l l二二、矢矢量量叉叉积积 l lA A 张量分张量分析析l l三三、矢矢量量的的混混合合积积 l lA-A-2 2 矢矢量量的的基基本本运运算算 l lRicciRicci符符号号l lA A 张量分张量分析析l l四四、矢矢量量的的并并乘乘(并并矢矢)l lA-A-2 2 矢矢量量的的基基本本运运算算 l lA A 张量分张量分析析l l并乘并乘l lA-3A-3 坐坐标标变变换换与与张张量量的的定定义义 l lA A 张量分张量分析析l l坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换式式式式l lA-3A-3 坐坐标标变变换换与与张张量量的的定定义义 l lA A 张量分张量分析析l l互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵l l基基基基矢量变换矢量变换矢量变换矢量变换式式式式l l任意向任意向任意向任意向量变换量变换量变换量变换式式式式l lA A 张量分张量分析析l lA-3A-3 坐坐标标变变换换与与张张量量的的定定义义 l l坐标坐标坐标坐标变换变换变换变换系系系系数数数数l l张量的定义张量的定义在坐在坐在坐在坐标标标标系系系系变换时变换时变换时变换时,满满满满足如下足如下足如下足如下变变变变换换换换关系的量称关系的量称关系的量称关系的量称为张为张为张为张量量量量 l l张张张张量的量的量的量的阶阶阶阶自由指自由指自由指自由指标标标标的数目的数目的数目的数目l l不变性记不变性记不变性记不变性记法法法法 l lA A 张量分张量分析析l lA-3A-3 坐坐标标变变换换与与张张量量的的定定义义 l l一一、加、加(减减)法法 l l二、矢量与张量的点积二、矢量与张量的点积(点乘点乘)l l左点乘左点乘左点乘左点乘 l lA A 张量分张量分析析l lA-3A-3 坐坐标标变变换换与与张张量量的的定定义义 l矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量,新新张张量量b b比原比原张张量量 T T的的阶阶数降低数降低一一阶阶 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l l右右右右点乘点乘点乘点乘 l l对对称称张张量量两两者才相等者才相等l lA A 张量分张量分析析l l三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l l左左左左叉叉叉叉乘乘乘乘 l lA A 张量分张量分析析l l矢量与张量叉乘的结果仍为张量矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原新张量与原张量同阶张量同阶 l l右叉右叉右叉右叉乘乘乘乘 l l三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l l四四、两个两个张量的张量的点点积积 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 2 2 l两个两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这这相当于矩阵相乘相当于矩阵相乘 l l五五、张量的、张量的双点双点积积 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 4 4 l l六六、张量的、张量的双叉乘双叉乘 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l l七七、张量的、张量的缩并缩并 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运这种运算称为缩并算称为缩并 l l八八、指指标标置置换换 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l若对该张量的分量中任意两个指标交换次序若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得到一个与原张量同阶的新张量得到一个与原张量同阶的新张量 l l九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l若若张张量量的的任任意意两两个个指指标标经经置置换换后后所所得得的的张张量量与与原原张张量量相相同同,则则称称该该张张量量关关于于这这两两个个指指标标为为对对称称,若若与与原原张张量量相相差差一一符符号号,则称该张量关于这两个指标为反称。则称该张量关于这两个指标为反称。l有有6 6个独立分个独立分量量 l有有3 3个独立分个独立分量量 l l九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l对对对对称称称称化化化化：对对已知已知张张量的量的N N个指个指标进标进行行N!N!次不同的置次不同的置换换,并取所得的并取所得的N!N!个新个新张张量的算量的算术术平均平均值值的运算的运算。其其结结果果张张量关于参与置量关于参与置换换的指的指标为对标为对称。将指称。将指标标放在放在圆圆括弧内表示括弧内表示对对称化运算称化运算。l l九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l l 反称化反称化反称化反称化:对对已知已知张张量的量的 N N 个指个指标进标进行行N!N!次不同的次不同的置置换换,并将其中指并将其中指标经过标经过奇次置奇次置换换的新的新张张量取反号量取反号,再再求算求算术术平均平均值值,这这种运算称种运算称张张量的反称化量的反称化,其其结结果果张张量关于参与置量关于参与置换换的指的指标为标为反称。将指反称。将指标标放在方括弧放在方括弧内表示反称运算内表示反称运算。l l十十、商法则商法则 l若在某坐若在某坐标标系中按某系中按某规规律律给给出出 33=27 个数个数 A(ijk),且且A(ijk)bk=Cij,其中其中bk 是与是与A(ijk)无关的任无关的任意矢量意矢量,Cij是是张张量量,那么那么,A(ijk)必必为为比比Cij高一高一阶阶的的张张量。量。l lA-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 l lA A 张量分张量分析析l l用于判定某些量的张量性！用于判定某些量的张量性！l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l lA A 张量分张量分析析lB B的作用如同一个算子的作用如同一个算子,它使空它使空间间内每一个向量内每一个向量变变换为换为另一个向量另一个向量,或者或者说说 B B 能把一个向量空能把一个向量空间间映射映射为为另一向量空另一向量空间间。l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l lA A 张量分张量分析析l l一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T l l对称张量对称张量对称张量对称张量 l l反反反反对称张对称张对称张对称张量量量量 l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l lA A 张量分张量分析析l l一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T l l和和和和b b b b为任意向量为任意向量为任意向量为任意向量 l lA A 张量分张量分析析l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l l一一、仿射量的、仿射量的逆逆B B-1-1 l lA A 张量分张量分析析l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l l三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 l对对于于仿仿射射量量B,B,若若存存在在三三个个相相互互垂垂直直的的方方向向i,ji,j,k k,其其映映象象 B Bi,Bi,Bj,Bj,Bk k也也相相互互垂垂直直,则则称称该该三三个个方方向向为为 B B 的的主主向向。对对称称仿仿射射量量T T 必必存存在在三三个个主主向向和和三三个个相相应应的的主主值值。主主值值S S 满满足足如如下下特特征征方程。方程。l lA A 张量分张量分析析l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l l三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 l lA A 张量分张量分析析l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l l三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 l l三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 l l笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标 l lA A 张量分张量分析析l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l lA A 张量分张量分析析l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l l四四、各向同性各向同性张张量量 l l各向同性张量各向同性张量各向同性张量各向同性张量在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时,各分量保持各分量保持各分量保持各分量保持不变的张量不变的张量不变的张量不变的张量 l零阶张量零阶张量(标量标量)总是各向同性的。一阶张量总是各向同性的。一阶张量(即矢即矢量量)总不是各向同性的。对于对称二阶张量总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,T,如果如果其三个主值相等其三个主值相等,即即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=,=,则是各向同性的。则是各向同性的。l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l l四四、各向同性各向同性张张量量 l l证明：证明：证明：证明：l(1)4个指标都相同的分量有3个l lA-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）l l四四、各向同性各向同性张张量量 l l证明：证明：证明：证明：l(2)4个指标有3个相同的分量有24个l以A1112 为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为l要使新坐标的分量A1112 与原坐标中的分量A1112 相等，A1112。必为零。l所以 A1123=0。其它都为零。l(3)4个指标中有2个相同的分量有36个l以A1123 为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则l将此三类分量用统一形式表示为：l(3)4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。l 在空在空间间所所论论域内域内,每点定每点定义义的同的同阶张阶张量量,构成了构成了张张量量场场。一般。一般张张量量场场中被考察的中被考察的张张量量随位置而随位置而变变化。研究化。研究张张量量场场因位置而因位置而变变化的化的情况使我情况使我们们从从张张量代数的量代数的领领域域进进入入张张量分析量分析的的领领域。域。笛卡儿坐笛卡儿坐标标系中的系中的张张量分析量分析。l lA-6 A-6 张量分析张量分析l一、哈一、哈密密顿顿(Hamilton)Hamilton)算子算子(梯度梯度算子算子)l l设有标量场设有标量场设有标量场设有标量场(x),x),当位置点当位置点当位置点当位置点r(x)r(x)变到变到变到变到r(x+dx)r(x+dx)时时时时,的增量的增量的增量的增量d d 命为命为命为命为 l梯度算子,矢量算子 l lA-6 A-6 张量分析张量分析l一、哈一、哈密密顿顿(Hamilton)Hamilton)算子算子(梯度梯度算子算子)l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l1.1.1.1.标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度标量场的梯度l l2.2.2.2.矢量场矢量场矢量场矢量场u u u u的散度的散度的散度的散度 l一、哈一、哈密密顿顿(Hamilton)Hamilton)算子算子(梯度梯度算子算子)l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l3.3.3.3.矢量的旋度矢量的旋度矢量的旋度矢量的旋度 l二二、张量场的微分张量场的微分 l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l1.1.1.1.张张张张量量量量A A A A的的的的梯梯梯梯度度度度 l l左梯左梯左梯左梯度度度度 l l右梯右梯右梯右梯度度度度 l l张张张张量的量的量的量的梯梯梯梯度度度度为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量 l二二、张量场的微分张量场的微分 l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l1.1.1.1.张张张张量量量量A A A A的的的的散散散散度度度度 l l左散左散左散左散度度度度 l l右散右散右散右散度度度度 l l张张张张量的量的量的量的散散散散度度度度为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量 l二二、张量场的微分张量场的微分 l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l3.3.3.3.张张张张量量量量A A A A的的的的旋旋旋旋度度度度 l l左旋左旋左旋左旋度度度度 l二二、张量场的微分张量场的微分 l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l3.3.3.3.张张张张量量量量A A A A的的的的旋旋旋旋度度度度 l l右旋右旋右旋右旋度度度度 l三三、散度定理散度定理 l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为 l三三、散度定理散度定理 l lA-6 A-6 张量分张量分析析l l高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为高斯积分公式为任意阶张任意阶张任意阶张任意阶张量量量量 l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l l一般一般一般一般讨论的张量讨论的张量讨论的张量讨论的张量,都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的都是在笛卡儿坐标系下进行的,在解决具体问题时在解决具体问题时在解决具体问题时在解决具体问题时,往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系往往要求更复杂的坐标系。l一一、曲线坐标、曲线坐标l在在笛笛卡卡儿儿坐坐标标系系 ,空空间间任任一一点点 P P 的的向向径是径是l设在设在三维空间三维空间某连通区域某连通区域,给定了笛氏坐标的三给定了笛氏坐标的三个连续可微的单值函数个连续可微的单值函数 l反函数反函数l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l若函数不是线性函数若函数不是线性函数,则称其为曲线坐标系则称其为曲线坐标系 l l用于编排指标用于编排指标用于编排指标用于编排指标i i i i 的次的次的次的次序序序序l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l二、局部基矢二、局部基矢量量 l在在笛笛卡卡儿儿坐坐标标系系,空空间间任任意意向向量量(张张量量)都都可可以以在在基基上上分分解解。这这种种做做法可进行两种不同的解释法可进行两种不同的解释:l(l)(l)空空间间里里只只有有一一个个固固定定在在原原点点的的基基e ei i,先先将将向量向量(张量张量)平行移至原点平行移至原点,然后在这基上分解。然后在这基上分解。l(2)(2)在在定定义义区区域域内内每每点点都都有有一一个个与与e ei i相相同同的的基基,即即局局部部基基,向向量量(张张量量)在在本本作作用用点点的的局局部部基基上上就就地分解。地分解。l l在在在在曲曲曲曲线线线线坐坐坐坐标标标标系系系系,如如如如果果果果只只只只用用用用一一一一个个个个固固固固定定定定基基基基的的的的做做做做法法法法,就就就就会会会会使使使使曲曲曲曲线线线线坐坐坐坐标标标标的的的的引引引引人人人人成成成成为为为为无无无无的的的的放放放放矢矢矢矢。我我我我们们们们采采采采用用用用第二种做法第二种做法第二种做法第二种做法,在空间每一点都建立在空间每一点都建立在空间每一点都建立在空间每一点都建立局部基局部基局部基局部基。l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l二、局部基矢二、局部基矢量量 l l取一点处坐标曲线的切向取一点处坐标曲线的切向取一点处坐标曲线的切向取一点处坐标曲线的切向量量量量 l l自然自然自然自然基基基基 l度量张量 l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l二、局部基矢二、局部基矢量量 l l 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张量和度量张量和度量张量和度量张量g gijijijij l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l二、局部基矢二、局部基矢量量 l l 求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基求圆柱坐标系的自然基g gi i i i 和度量张量和度量张量和度量张量和度量张量g gijijijij l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l二、局部基矢二、局部基矢量量 l l笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等,可以推广到曲线坐标系可以推广到曲线坐标系可以推广到曲线坐标系可以推广到曲线坐标系,区别只在于这时的基矢量区别只在于这时的基矢量区别只在于这时的基矢量区别只在于这时的基矢量g gi i i i及变换系数及变换系数及变换系数及变换系数 i i i i i i i i是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量是空间点位置的函数。如张量A A A A在曲线坐标系可以写成在曲线坐标系可以写成在曲线坐标系可以写成在曲线坐标系可以写成 l由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲,例如例如,圆柱坐标中的。因此圆柱坐标中的。因此,相对相对 应的自然基矢应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量量(张量张量)在这样的基上在这样的基上 的各分量并不具有物理的各分量并不具有物理量纲量纲,从而给直接的物理解释带来不便从而给直接的物理解释带来不便。l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l二、局部基矢二、局部基矢量量 l 为为了了使使张张量量在在每每个个具具体体坐坐标标系系里里能能取取得得具具有有物物理理量量纲纲的的分分量量 ,在在正正交交曲曲线线坐坐标标系系 ,取取切切 于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量,即即l l正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架正交单位标架为物理标架,或称物理基或称物理基或称物理基或称物理基 l在物理标架上分解的张量在物理标架上分解的张量,其相应的各分量能取得相同其相应的各分量能取得相同的物理量纲的物理量纲 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 l l标量场标量场标量场标量场 沿沿沿沿 s s s s 方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为 l两边点乘l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l三、张量对曲线坐标的导数三、张量对曲线坐标的导数 l l标量场标量场标量场标量场 沿沿沿沿 s s s s 方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为方向的方向导数为 l形式导数l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l1.1.克里斯多弗符号克里斯多弗符号l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l1.1.克里斯多弗符号克里斯多弗符号l lA-7 A-7 曲线坐标下的张量分曲线坐标下的张量分析析 l1.1.张量的梯度张量的梯度l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析 l l圆柱圆柱坐标下坐标下的张量分析的张量分析