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第第7章章 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法7.1 拉普拉斯变换的定义7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯反变换 7.4 复频域电路 7.5 电路的拉普拉斯变换分析法 7.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性微分方程的工具。设一个变量t的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件）拉氏正变换 f(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。00。解 根据拉氏变换的定义 tjtateews=)(lim=0称为收敛域 拉氏反变换 拉氏正变换拉氏反变换 拉氏变换对由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换 下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换 工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1)t的指数函数；(2)t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。7.1.1 指数函数 (a为常数)由定义可得 的拉普拉斯变换为 由此可导出一些常用函数的变换：1、单位阶跃函数e(t)a=02、正弦函数 sin w t e(t)故有3、余弦函数 cos w t e(t)故有4、衰减正弦函数 (t)sine a twe故有5、衰减余弦函数 (t)cose a twe与衰减正弦函数相类似可得 6、双曲线正弦函数 sh bt e(t)故有7、双曲线余弦函数 ch bt e(t)与双曲线正弦函数相类似可得 7.1.2 t的正幂函数 (n为正整数由定义可得 的拉普拉斯变换为设则 亦即依次类推，则得当n=1时，有 7.1.3 冲激函数 A d（t）冲激函数的定义 可得对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：书中表7 1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换 拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。拉氏变换法的优点：（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；7.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。7.2.1 线性特性若 f1(t)F1(s)Lf2(t)LF2(s)则)()(2211tfatfa+L)()(2211sFasFa+a1，a2为任意常数 证明 求函数的象函数 例 解 7.2.2 尺度变换若 f(t)F(s)L则 f1(at)La为大于零的实数 证明 令x=at 7.2.3 时间变换若 f(t)F(s)LL0tf(t)0tt0f(t-t0)证明 令t0 为常数 则例 解 求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换 0tf(t)ETt0tfa(t)0tTfc(t)0-ETfb(t)=+由线性性质 时间平移特性还可以用来求取有始周期函数(t0时呈现周期性的函数,在t0范围函数值为零)的拉普拉斯变换 f(t)为有始周期函数，其周期为T，f 1(t)、f 2(t)分别表示函数的第一周期，第二周期，的函数，由于是周期函数，因此 f 2(t)可看成是 f 1(t)延时一个周期构成的，f 3(t)可看成是 f 1(t)延时二个周期构成的，依此类推则有 根据平移特性，若则f(t)为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子 例 求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换 0tET23T25T2T2Tf(t)解 先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换 0tEf 1(t)3T2T2T0tET2f 1b(t)|3T2T2T0tET2f 1a(t)+有始正弦函数的拉普拉斯变换为 故根据时间平移特性可得半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为 7.2.4 频率平移特性若 f(t)F(s)L则 证明 7.2.5 时域微分特性L若 f(t)F(s)L则 证明 由上式应用分部积分法，有 式中 于是可得应用上式的结果可得依此类推，可得 如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为 例 解 若电容元件C的端电压uC(t)的拉氏变换式为UC(s)求电容C中电流的象函数IC(s)。应用微分性质 IC(s)=LiC(t)=LC=CsUC(s)uC(0-)=CsUC(s)CuC(0-)dttduC)(如果C的端电压初始值uC(0-)=0IC(s)=CsUC(s)则有7.2.6 时域微分特性L若 f(t)F(s)则 证明 对上式进行分部积分，得=0 则 如函数的积分区间不由0开始而是由-开始则因为 故有将积分性质广到多重积分同前面样，此处的0意味着0-书中表7 2列出了拉普拉斯变换的基本性质。则有7.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表 因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分分式法。利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般都是s的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比，即 式中的诸系数an,bn 都是实数，m、n都是正整数。如mn时，可以将假分式可分解为多项式与真分式之和。N(S)=0的根被称为F(S)的零点；D(S)=0的根被称为F(S)的极点。为了分解F(s)为部分分式，只需讨论D(s)=0的根。7.3.1 D(s)=0均为单根，即无重根的情况（设mn）因D(s)是s的n次多项式，故可分解因式如下 由于D(s)无重根，故sn都不相等，F(S)写成部分分式的形式为A1，A2，.Ak.An为待定系数，称为F(s)在各极点处的留数。Ak 如何确定？令 将等式的两边乘以(s-sk)在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐项对部分分式求拉氏反变换，得 F(s)的原函数为由此可见，象函数的拉氏反变换，可表示为若干指数函数项之和 例1 解 求 的原函数。首先将F(s)化为真分式 将分母进行因式分解 将F(s)中的真分式写成部分分式 求真分式中各部分分式的系数 于是F(s)可展开为 其原函数为注意：在对假分式进行反变换时，应首先将假分式变为真分式，然后再进行部分分式分解。例 解 求 的原函数。先将分母分解因式得是一对共轭复数 方法一由由于 为一对共轭值，A1，A2则也必为共轭值，所以A2可由A1直接求得。于是 对上式逐项求反变换，并加以整理得方法二当D(s)为二次三项式，且D(s)=0的根为一对共轭复数时，还可以使用更简便的方法求原函数。即将分母配成二项式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来考虑。F(s)可配方为 直接查阅拉普拉斯变换表可得计算步骤大为简化 例 解 求 的原函数。象函数F(s)不是有理函数，部分分式分解的方法无法直接应用，这时可先将F(s)改写成其中分别都是有理函数，可用部分分式法分解 根据时间平移性质可知 的原函数，就等于F2(s)的原函数再平移2个时间单位的结果。分别求F1(s)，F2(s)的原函数 于是可得7.3.2 D(s)=0的根有重根的情况（设mn）设D(s)=0在s=s1处有p阶重根，这时可将F(s)写成下面的形式 把F(s)展开成部分分式A2，A3，.An-p 各留数仍可照无重根的情况求取A12、A13、.A1p各留数，不能再采用这种方法。因为这样将使导数分母中出现“0”值，而得不出结果。留数A11的求取，可将等式的两边乘以 令s=s1 于是为此，引入辅助函数对s微分得 显然同理依此类推，得一般形式为确定了系数，就可根据拉普拉斯变换直接，求取原函数。所以F(s)对应的原函数因为例 解 求 的原函数。D(s)=0有四个根，一个二重根s1=1和s2=0，s3=3 两个单根其中各待定系数分别确定如下故部分分式可表示为故得取反变换得以上介绍了用部分分式法求拉氏反变换的基本方法。在分析具体问题时，可根据F(s)的分母有无重根分别用前述两种方法求各极点的留数，只要这些留数一经求得，就能得出反变换。7.4 复频域电路复频域电路用拉氏变换分析电路暂态时可不必写出微分方程再进行变换，可先将时域电路变成复频域电路模型，再根据复频域电路直接写出运算形式的电路方程，使计算过程更为简化。根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。7.4.1 电阻元件Ri(t)u(t)在时域中，有RI(s)U(s)Ri(t)u(t)设，等式两边取拉氏变换，得 时域形式复频域形式7.4.2 电容元件Ci(t)u(t)在时域中，有令对等式取拉氏变换并应用积分性质得I(s)U(s)1sCuC(0-)s容端电压的象函数（称象电压）由两部分组成：第一部分是电流的象函数（称象电流）与运算形式的容抗（简言容抗）的积；第二部分相当于某阶跃电压的象函数，称为内运算电压源。电容C在复频域中串联形式的电路模型 I(s)U(s)sCCuC(0-)象电流也由两部分组成：第一部分是sC（称容纳）和象电压UC(s)的乘积；第二部分相当于某电流源的象函数，称内运算电流源。电容C在复频域中并联形式的电路模型 7.4.3 电感元件在时域中，有Li(t)u(t)令Lu(t)=U(s),Li(t)=I(s)，对上式取拉氏变换或I(s)U(s)Li(0-)sL1sLI(s)U(s)i(0-)s感抗内运算电压源 内运算电流源 串联形式的电路模型并联形式的电路模型7.4.4 互感元件在时域中，有L1i2(t)L2Mi1(t)u1(t)u2(t)sL1I2(s)sL2sMI1(s)U1(s)U 2(s)L 1i1(0-)M i2(0-)L2i2(0-)M i1(0-)对等式两边取拉氏变换有互感运算阻抗附加电压源的方向与电流i1、i2的参考方向有关。附加的电压源耦合电感元件 复频域形式 7.4.5 受控源线性受控源电路，在时域电路中满足 U1(s)=I1(s)R，U2(s)=U1(s)u1=i1R，u2=u1对等式两边取拉氏变换有R1i1u1mu2u1mU2(s)U1(s)R1U1(s)I1(s)线性受控源受控源的复频域形式 把时域电路变换成它的等效运算电路（复频域电路）以RLC串联电路为例 RSu(t)(t=0)uCCi(t)LRSU(s)(t=0)I(s)L i(0-)sL1sCuC(0-)s RLC串联电路 等效运算电路 由等效运算电路可直接写出电路的运算形式的代数方程即RLC串联电路的运算阻抗 RLC串联电路的运算导纳 式中 或者运算形式的欧姆定律在零值初始条件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，则有 在画复频域电路时，应注意电路中的电压、电流均用象函数表示，同时元件用运算阻抗或运算导纳表示，且电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。例E e (t)i1RRLCLi2I1(s)RRLsLI2(s)1sCEs 时域电路复频域电路7.5 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换法把时间函数变换为对应的象函数，把线性电路的求解归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。对任一回路对任一节点对于复频域电路，两类约束关系为应用拉氏变换分析线性电路的步骤：（4）通过拉氏反变换得出时域中响应电压和电流。（2）画出换路后的等值运算电路；（3）应用电路分析方法求出响应电压、电流的象函数；（1）求出换路前电路中所有电容元件上的初始电压uc(0-)和所有电感元件上的初始电流iL(0-)；例1解电路如图所示，开关s闭合前电路处于稳态，在t=0时开关S闭合，求电路中iL及uC 1000 F0.1HuC200ViLS1030开关闭合前电路已处于稳态，所以 已知 可得运算电路 0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)设回路电流为I1(s)、I2(s),应用回路电流法，可列出方程为解得求其反变换得原函数为电容上的电压为一般来说，二阶或二阶以上的电路不用时域分析，而采用复频域法求解更简便。0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)求其反变换得原函数为解例2如图 所示电路，电路原处于稳态，t=0时开关S打开。求t 0时的电流i1(t)、i2(t),uSi1(t)S0.3H0.1Hi2(t)L2L110VR1R223电感L1中的初始电流为 i1(0-)=5A，i2(0-)=0S打开后1.5I1(s)0.3s0.1s23 10s故运算电路电流随时间变化的曲线 t23.75 i1(t)50开关打开时，L1和L2中的电流都被强制为同一电流，其数值为显然可见两个电感的电流都发生了跃变。电感中的电流不满足换路定则，电感L1和L2中的电压都将有冲激函数出现。i1(0-)=5A，i2(0-)=0从本例看出，动态元件的初值在换路时发生突变，不满足换路定则，用复频域法分析电路仅需要换路前t=0的初值，无需考虑突变求t=0+时的突变值。电感L1和L2中的电压可求得 1.5I1(s)0.3s0.1s23 10sL1L2例3解电路如图所示，求冲激响应。R uCCiSR UC(s)IS(s)1sC画出运算电路 td(t)iC(t)1RC0电压的初值发生了突变，产生了冲激电流t01CuC(t)电压随时间变化的曲线电流随时间变化的曲线从本例看出，当电路中含有奇异函数电源时，用运算电路可变换为常用的函数电源，从而简化计算。本章结束