放缩法深入的练习.docx

数列复习3——放缩法和数列综合题
上一节我们已经进行了一点初步的放缩法练习，先来热热身
练习1：已知,求证:.

练习2：已知,,求证:

下面研究其他类型的放缩：
二 函数放缩
例1.求证：.

例2.求证:

练习：求证:

三、分式放缩
姐妹不等式:
（这个也叫糖水不等式）
记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例1. 求证不等式:

类比证明：

例2.证明:

四、分段放缩
例1.求证:

练习.(泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。

五、迭代放缩
例1. 已知,
（1）求的值 （2）判断与2的大小关系并证明结论
（3）求证：当时,

例2. 设,
求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<

六、借助数列递推关系
例1.求证:

练习. 若,求证:

七、分类讨论
例1 .已知数列的前项和满足证明：对任意的整数
，有

八、线性规划型放缩
例1. 设函数.若对一切，，求的最大值。

九、均值不等式放缩
例1.设求证

例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为

十、二项放缩
,,

例1. 已知证明

例2.设，求证.

十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在上的可积函数，则.
例1.求证：.

例2. 求证：，.

练习. （全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.
（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当时，证明.

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
①；
②；
③；
④.
十二、部分放缩(尾式放缩)
例1. 求证:

例2. 设求证：

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