中小学数列中的裂项放缩训练题公开课教案教学设计课件案例测试练习卷题.docx

数列中的裂项放缩训练题
一、先求和后放缩
1. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式.
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：

2. 设数列的前项和
（I）求首项与通项公式；
（II）设，求证：.

3. 已知正项数列{an}的n项和为Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．

二、先放缩后求和
4. 已知是数列的前项和，，且，其中.
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足，是数列的前项和，求证：.

5. 记数列的前项和为，且满足，，
（I）求的通项公式；
（II）求证：对一切，均有.

6. 已知正项数列的首项，其前项和为，且．数列满足：an+1(b1+ b2
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明：．

三、不求通项放缩
7. 设公差不为零的等差数列，若是与的等比中项,,
（I）求;
（II）若数列满足,，求证:.

【参考解析】
一、先求和后放缩
1. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式.
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：
【解析】（Ⅰ）由是，的等差中项得，
所以，解得，
由，得，解得或，
因为，所以，所以；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，，
∴
，

2. 设数列的前项和
（I）求首项与通项公式；
（II）设，求证：.
【解析】（Ⅰ）由 ①
得，所以.
再由①有 ②
将①和②相减得
整理得 ，
因而数列是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
即， 因而，
（Ⅱ）将代入①得

所以，

3. 已知正项数列{an}的n项和为Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
【解析】（I）由题意，当n＝1时，a12+2a1＝4S1﹣1＝4a1﹣1，
整理，得a12﹣2a1+1＝0，解得a1＝1．
当n≥2时，由an2+2an＝4Sn﹣1，可得，
两式相减，可得，
即an2﹣an﹣12＝2an+2an﹣1，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），
∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．
（II）由（1）知，Sn＝n2＝n2，
则bn[]，
∴Tn＝b1+b2+…+bn（1）（）[]
[1][1]，
又∵an＞0，n∈N*，∴bn＞0，∴Tn≥T1＝b1（1），∴Tn．
∴Tn的取值范围为[，）．
二、先放缩后求和
4. 已知是数列的前项和，，且，其中.
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足，是数列的前项和，求证：.
【解析】(I)（*），
又由，求得， 满足（*）式，所以
故时首项为2，公差为2的等差数列，所以.
(II)，
当时，；
当时，.
综上，

5. 记数列的前项和为，且满足，，
（I）求的通项公式；
（II）求证：对一切，均有.
【解析】（I）由，
所以，又满足此式，所以，
根据，得，所以.
（II）
所以当时，
，
当时，，显然成立，
所以.

6. 已知正项数列的首项，其前项和为，且．数列满足：an+1(b1+ b2
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明：．
【解析】由得，两式相减得，
又由，得，进一步得.
（Ⅱ）由，得，则，
那么，
故，
同理，
，
故.
三、不求通项放缩
7. 设公差不为零的等差数列，若是与的等比中项,,
（I）求;
（II）若数列满足,，求证:.
【解析】
（II）当时，两式相减得，
，
，
当时，，不等式也成立.
综上原不等式成立.