1、数列中的裂项放缩训练题
一、先求和后放缩
1. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式.
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：
2. 设数列的前项和
（I）求首项与通项公式；
（II）设，求证：.
3. 已知正项数列{an}的n项和为Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
二、先放缩后求和
4. 已知是数列的前项和，，且，其中.
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足，是数列的前项和，求证
2、
5. 记数列的前项和为，且满足，，
（I）求的通项公式；
（II）求证：对一切，均有.
6. 已知正项数列的首项，其前项和为，且．数列满足：an+1(b1+ b2
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明：．
三、不求通项放缩
7. 设公差不为零的等差数列，若是与的等比中项,,
（I）求;
（II）若数列满足,，求证:.
【参考解析】
一、先求和后放缩
1. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式.
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：
【解析】（Ⅰ）由是，的等差中项得，
所以，解得，
由
3、得，解得或，
因为，所以，所以；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，，
∴
，
2. 设数列的前项和
（I）求首项与通项公式；
（II）设，求证：.
【解析】（Ⅰ）由 ①
得，所以.
再由①有 ②
将①和②相减得
整理得 ，
因而数列是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
即， 因而，
（Ⅱ）将代入①得
所以，
3. 已知正项数列{an}的n项和为Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
【解析】（I）由题意
4、当n＝1时，a12+2a1＝4S1﹣1＝4a1﹣1，
整理，得a12﹣2a1+1＝0，解得a1＝1．
当n≥2时，由an2+2an＝4Sn﹣1，可得，
两式相减，可得，
即an2﹣an﹣12＝2an+2an﹣1，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），
∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．
（II）由（1）知，Sn＝n2＝n2，
则bn[]，
∴Tn＝b1+b2+…+bn（1）（）[]
[1][1]，
又∵an＞0，n∈N*，∴bn＞0，∴Tn≥
5、T1＝b1（1），∴Tn．
∴Tn的取值范围为[，）．
二、先放缩后求和
4. 已知是数列的前项和，，且，其中.
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足，是数列的前项和，求证：.
【解析】(I)（*），
又由，求得， 满足（*）式，所以
故时首项为2，公差为2的等差数列，所以.
(II)，
当时，；
当时，.
综上，
5. 记数列的前项和为，且满足，，
（I）求的通项公式；
（II）求证：对一切，均有.
【解析】（I）由，
所以，又满足此式，所以，
根据，得，所以.
（II）
所以当时，
，
当时，，显然成立，
所以.
6. 已知正项数列的首项，其前项和为，且．数列满足：an+1(b1+ b2
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明：．
【解析】由得，两式相减得，
又由，得，进一步得.
（Ⅱ）由，得，则，
那么，
故，
同理，
，
故.
三、不求通项放缩
7. 设公差不为零的等差数列，若是与的等比中项,,
（I）求;
（II）若数列满足,，求证:.
【解析】
（II）当时，两式相减得，
，
，
当时，，不等式也成立.
综上原不等式成立.
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