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3.1.2 用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．用二分法如图所示函数f(x)的零点时，不行能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
[答案] C
2．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，d)内 D．等于
[答案] D
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12.04
13.89
－7.67
10.89
－34.76
－44.67
则函数y＝f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
[答案] C
4．f(x)＝x4－15，下列结论中正确的有( )
①f(x)＝0在(1,2)内有一实根；②f(x)＝0在(－2，－1)内有一实根；③没有大于2的零点；④f(x)＝0没有小于－2的根；⑤f(x)＝0有四个实根．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] C
[解析] ①②③④正确，⑤不正确．
5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( )
A． B．
C．ε D．2ε
[答案] B
[解析] 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＝，因此误差最大不超过.
二、填空题
7．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点四周的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.46025)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________．
[答案] 1.4375(或1.375)
[解析] 由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．
8．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．
[答案] (2,2.5)
[解析] ∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．
9．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．
[答案] 0.75(答案不唯一)
[解析] 由于|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．
三、解答题
10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，假如用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，求区间(0,0.1)等分的至少次数．
[解析] 依题意＜0.01，得2n＞10.故n的最小值为4.
11．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01)．
[解析] 令f(x)＝x2－3，由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0，所以函数在区间(1,2)内存在零点x0，即为，取区间(1,2)为二分法计算的初始区间，列表如下：
(a，b)
(a，b) 的中点
f(a)
f(b)
f()
(1,2)
1.5
f(1)＜0
f(2)＞0
f(1.5)＜0
(1.5,2)
1.75
f(1.5)＜0
f(2)＞0
f(1.75)＞0
(1.5,1.75)
1.625
f(1.5)＜0
f(1.75)＞0
f(1.65)＜0
(1.625，1.75)
1.6875
f(1.625)＜0
f(1.75)＞0
f(1.6875) ＜0
(1.6875，1.75)
1.71875
f(1.6875)＜0
f(1.75)＞0
f(1.71875) ＜0
(1.71875，1.75)
1.734375
f(1.71875)＜0
f(1.75)＞0
f(1.734375) ＞0
(1.71875，1.734375)
1.7265625
f(1.71875) ＜0
f(1.734375)＞0
f(1.7265625) ＜0
由于1.734375－1.7265625＝0.0078125＜0.01，所以可取1.734375为的一个近似值．
12．方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？假如方程有解，恳求出它的近似解(精确到0.1)．
[解析] 考查函数f(x)＝x5＋x－3，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝31>0，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)有一个零点x0.
∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)，
∴方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．
取区间(1,2)的 中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈6.09>0，∴x0∈(1,1.5)．
同理，可得x0∈(1,1.25)，x0∈(1.125,1.25)，x0∈(1.125，1.1875)，x0∈(1.125,1.156 25)，
x0∈(1.125,1.1406 25)．
由于|1.1406 25－1.125|<0.1，此时区间(1.125，1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.
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