经典空间向量知识点归纳总结.doc

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空间向量知识点归纳总结
空间向量的基本概念及运算
知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若，，则，
，，
，
，
。
②若，，则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若，，
则，
（5）夹角公式：。
（6）两点间的距离公式：若，，
则，
或

7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，
显然有；若，则称与互相垂直，记作：。
（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。②。③。
（5）空间向量数量积运算律：
①。②（交换律）。
③（分配律）。

例1如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F

解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、
z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，
则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵· =（2，0，0）·（0，1，－2）
=0，∴AD⊥D1F

∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角
（3）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F

例2 棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是C1C和D1A1的中点，（1）求EF长度；（2）求<>；3）求点A到EF的距离
分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解
解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，
y轴，z轴建立直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，= - 4, =1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos<>==-,所以<>=-arccos
(3)在上的射影的数量cos<>==
A到EF的距离=

例3在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90
，AC=2，BC=，SB=
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值
解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴
建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴ =（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵·=0，∴SC⊥BC
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0，，0），·=4，||| |=4，
∴cosα=，即为所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC
（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求

例4如图正方体中，，求与所成角的余弦。

解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
∴，，
∴，
。
。

直线、平面、简单几何体空间角
高考要求
　　1掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念
2会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角
知识点归纳
1．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
一直线垂直于平面，所成的角是直角
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角
直线和平面所成角范围： [0，]
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
4．公式：平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有
5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；
6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角
（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角
说明：①二面角的平面角范围是；

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法
8求二面角的射影公式：，
其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小
9．三种空间角的向量法计算公式：
⑴异面直线所成的角：；
⑵直线与平面(法向量)所成的角：；
⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量
题型讲解
例1 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
解法一：(几何法)如图，连结D1F1，
则D1F1
BC ∴D1F1
设点E为BC中点
∴D1F1 BE EF1
∴∠EF1A或补角即为所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A=．
解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1
则A（－1，0，0），F1（－，0，1），
B（0，－1，0），D1（－，－，1）
即 =（，0，1）， =（－， ，1）
∴cos<， >=
例2 正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直线PQ与AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，则MP就是QP在面ABCD内的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量与的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐标系后，求出
可由cos求解，
解（1）作QM⊥BC于M，连MP，则∠QMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得：QM=， MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空间直角坐标系如图，则
Q（0， P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
,=(0,a,0)

QP与AD所成的角为90°
例3 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量
解：设面ABC的法向量，
则⊥且⊥，即·=0，且·=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），单位法向量=±（，－，）
点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解
例4 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值
分析：此题中二面角的棱没有画出，按常规解可延长BA，CD相交于E，则SE是二面角的棱，因为DA⊥面ABS，过点A作SE的垂线交SE于F，连结DF，则∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求两个面的法向量所成的角或补角
解：如图建立空间直角坐标系，则依题意可知D（，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知是面SAB的法向量
设平面SCD的法向量=（x，y，z）
=0，
可推出令x=2,则有y=-1,z=1, =（2，-1，1）
设所求二面角的大小为θ，则
cosθ==
, tan
例5平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如图，以A为原点建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）证明：，
，
设平面AGC的法向量为，

设平面BGC的法向量为，

∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量为
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量， 得
∴二面角B—AC—G的大小为

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