空间向量知识点归纳总结(经典).pdf

1空间向量与立体几何知识点归纳总结空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。一知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（注：（1）向量一般用有向线段表示）向量一般用有向线段表示奎 奎奎 奎 奎奎 奎同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。;OBOAABabuuu ruu u ruuu rvrBAOAOBabuu u ruu u ruuu rrr()OPaRuuu rr运算律：运算律：加法交换律：加法交换律：abbavvvr加法结合律：加法结合律：)()(cbacbavvvvrv数乘分配律：数乘分配律：babavvvv)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，共线向量或平行向量，平行于平行于，记作，记作。arbrbarv/（2）共线向量定理：空间任意两个向量）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/存在实数存在实数，使，使 arbrbr0rarbrar。br（3）三点共线：）三点共线：A、B、C 三点共线三点共线ACAB )1(yxOByOAxOC其中（4）与）与共线的单位向量为共线的单位向量为aaa4.共面向量共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量）共面向量定理：如果两个向量不共线，不共线，与向量与向量共面的条件是存在实共面的条件是存在实,a brrpr,a brr数数使使。,x ypxaybrrr（3）四点共面：若）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面四点共面ACyABxAP )1(zyxOCzOByOAxOP其中25.空间向量基本定理：如果三个向量空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量，存，存,a b crrrpr在一个唯一的有序实数组在一个唯一的有序实数组，使，使。,x y zpxaybzcrrrr若三向量若三向量不共面，我们把不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做空间的一个基底，叫做基向量，叫做基向量，,a b crrr,a b crrr,a b crrr空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设推论：设是不共面的四点，则对空间任一点是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，都存在唯一的三个有序实数,O A B CP，使，使。,x y zOPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r6.空间向量的直角坐标系：空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系在空间直角坐标系中，对空间任一点中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，存在唯一的有序实数组，OxyzA(,)x y z使使，有序实数组，有序实数组叫作向量叫作向量在空间直角坐标系在空间直角坐标系中的坐标，中的坐标，zkyixiOA(,)x y zAOxyz记作记作，叫横坐标，叫横坐标，叫纵坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。叫竖坐标。(,)A x y zxyz 注：注：点点 A（x,y,z）关于）关于 x 轴的的对称点为轴的的对称点为(x,-y,-z),关于关于 xoy 平面的对称点为平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在在 y y 轴上的点设为轴上的点设为(0,y,0),(0,y,0),在平面在平面 yOzyOz 中的点设为中的点设为(0,y,z)(0,y,z)（2）若若空空间间的的一一个个基基底底的的三三个个基基向向量量互互相相垂垂直直，且且长长为为，这这个个基基底底叫叫单单位位正正交交基基底底，1用用表表示示。空间中任一向量。空间中任一向量=（x,y,z）,i j kr r rkzjyi xa（3）空间向量的直角坐标运算律：）空间向量的直角坐标运算律：若若，则，则，123(,)aa a ar123(,)bb b br112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr123(,)()aaaaRr，1 1223 3a baba ba br r，112233/,()abab ab abRrr。1 1223 30ababa ba brr若若，则，则。111(,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。点的坐标。定比分点公式：若定比分点公式：若，则点，则点 P 坐标为坐标为111(,)A x y z222(,)B xyzPBAP3。推导：设。推导：设 P（x,y,z）则）则)1,1,1(212121zzyyxx,显然，当显然，当 P 为为 AB 中点中点),(),(22211,1zzyyxxzzyyxx时，时，)2,2,2(212121zzyyxxP，三角形重心，三角形重心 P P 坐标坐标),(),(,333222111zyxCzyxB（zy（A（xABC中为为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxPABCABC 的五心：的五心：内心内心 P P：内切圆的圆心，角平分线的交点。：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）（单位向量）)(ACACABABAP外心外心 P P：外接圆的圆心，中垂线的交点。：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA垂心垂心 P P：高的交点：高的交点：（移项，内积为（移项，内积为 0 0，则垂直），则垂直）PCPBPCPAPBPA重心重心 P P：中线的交点，三等分点（中位线比）：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若）模长公式：若，123(,)aa a ar123(,)bb b br则则，222123|aa aaaarr r222123|bb bbbbrr r（5）夹角公式：）夹角公式：。1 1223 3222222123123cos|aba ba ba ba babaaabbbr rr rrrABCABC 中中AA 为锐角为锐角AA 为钝角，钝角为钝角，钝角 0 ACAB0 ACAB（6）两点间的距离公式：若）两点间的距离公式：若，111(,)A x y z222(,)B xyz则则，2222212121|()()()ABABxxyyzzuuu ruuu r或或 222,212121()()()A Bdxxyyzz7.空间向量的数量积。空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，在空间任取一点，作，作,a brrO，则，则叫做向量叫做向量 与与 的夹角，记作的夹角，记作；且规定；且规定,OAa OBbuu u ruuu rrrAOBarbr,a brr，显然有，显然有；0,a brr,a bb arrrr4若若，则称，则称 与与 互相垂直，记作：互相垂直，记作：。,2a brrarbrabrr（2）向量的模：设）向量的模：设，则有向线段，则有向线段的长度叫做向量的长度叫做向量 的长度或模，记作：的长度或模，记作：OAauu u rrOAuu u rar。|ar（3）向量的数量积：已知向量）向量的数量积：已知向量，则，则叫做叫做的数量积，的数量积，,a brr|cos,aba brrrr,a brr记作记作，即，即。a brra brr|cos,aba brrrr（4）空间向量数量积的性质：）空间向量数量积的性质：。|cos,a eaa er rrr r0aba brrrr2|aa arr r（5）空间向量数量积运算律：）空间向量数量积运算律：。（交换律）（交换律）。()()()aba babrrrrrra bb arrrr（分配律）（分配律）。()abca ba crrrrrr r不满足乘法结合率：不满足乘法结合率：)()(cbacba二空间向量与立体几何二空间向量与立体几何1线线平行线线平行两线的方向向量平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行面面平行两面的法向量平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线面垂直线与面的法向量平行线与面的法向量平行2-2 面面垂直面面垂直两面的法向量垂直两面的法向量垂直3 线线夹角线线夹角（共面与异面）（共面与异面）两线的方向向量两线的方向向量的夹角或夹角的补角，的夹角或夹角的补角，90,0OO2,1nn2,1coscosnn3-1 线面夹角线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量与面的法向量 的的90,0OOAPn夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.nAP,cossin3-2 面面夹角（二面角）面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法180,0OO向量向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.2,1nn21,coscosnn4点面距离点面距离 ：求点：求点到平面到平面的距离：的距离：在平面在平面上去一点上去一点，得向量，得向量h00,P xy,Q x y5;；计算平面计算平面的法向量的法向量;.PQuuu rnnnPQh4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题典型例题】1基本运算与基本知识（）基本运算与基本知识（）例例 1.已知平行六面体已知平行六面体 ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向，化简下列向量表达式，标出化简结果的向DCBA量。量。；ABBCuuu ruuu rABADAAuuu ruuu ruuu r；。12ABADCCuuu ruuu ruuu u r1()3ABADAAuuu ruuu ruuu rGM 例例 2.对空间任一点对空间任一点和不共线的三点和不共线的三点，问满足向量式：，问满足向量式：O,A B C（其中（其中）的四点）的四点是否共面？是否共面？OPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r1xyz,P A B C。例例 3 已知空间三点已知空间三点 A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。求以向量求以向量为一组邻边的平行四边形的面积为一组邻边的平行四边形的面积 S；,AB ACuuu r uuu r若向量若向量 分别与向量分别与向量垂直，且垂直，且|，求向量，求向量 的坐标。的坐标。ar,AB ACuuu r uuu rar3ar2基底法（如何找，转化为基底运算）基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4几何法几何法6编号编号 03 晚自习测试；晚自习测试；17，18 题题例例 4.如图，在空间四边形如图，在空间四边形中，中，OABC8OA 6AB 4AC 5BC 45OACo，求，求与与的夹角的余弦值。的夹角的余弦值。60OABoOABC O A B C 说明：由图形知向量的夹角易出错，如说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成易错写成，切记！，切记！,135OA ACouu u r uuu r,45OA ACouu u r uuu r例例 5.长方体长方体中，中，为为与与的交点，的交点，为为与与的的1111ABCDABC D4ABBCE11AC11B DF1BC1BC交点，又交点，又，求长方体的高，求长方体的高。AFBE1BB【模拟试题模拟试题】1.已知空间四边形已知空间四边形，连结，连结，设，设分别是分别是的中点，化简下列各表的中点，化简下列各表ABCD,AC BD,M G,BC CD7达式，并标出化简结果向量：（达式，并标出化简结果向量：（1）；ABBCCDuuu ruuu ruuu r（2）；（3）。1()2ABBDBCuuu ruuu ruuu r1()2AGABACuuu ruuu ruuu r2.已知平行四边形已知平行四边形 ABCD，从平面，从平面外一点外一点引向量。引向量。ACO。,OEkOA OFkOB OGkOC OHkODuuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuuruuu r（1）求证：四点）求证：四点共面；共面；,E F G H（2）平面）平面平面平面。AC/EG3.如图正方体如图正方体中，中，求，求与与所成角的余弦。所成角的余弦。1111ABCDABC D11111114B ED FAB1BE1DF5.已知平行六面体已知平行六面体中，中，ABCDA B C D ，4,3,5,90ABADAABADo，求，求的长。的长。60BAADAA oAC8 参考答案参考答案 1.解：如图，解：如图，（1）；ABBCCDACCDADuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r（2）。111()222ABBDBCABBCBDuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r；ABBMMGAGuuu ruuu u ruuu u ruuu r（3）。1()2AGABACAGAMMGuuu ruuu ruuu ruuu ruuuu ruuu u r2.解：（解：（1）证明：）证明：四边形四边形是平行四边形，是平行四边形，ABCDACABADuuu ruuu ruuu r，EGOGOEuuu ruuu ruuu r()()()k OCk OAk OCOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEHuuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu u ruuu ruuu ruuu r共面；共面；,E F G H（2）解：）解：，又，又，()EFOFOEk OBOAk ABuuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu rEGk ACuuu ruuu r。/,/EFAB EGAC所以，平面所以，平面平面平面。/ACEG3.解：不妨设正方体棱长为解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，1Oxyz则则，(1,1,0)B13(1,1)4E(0,0,0)D11(0,1)4F，11(0,1)4BE uuu u r11(0,1)4DF uuu u r，11174BEDFuuu u ruuu u r。1111150 0()1 14416BEDF uuu u r uuu u r9。11151516cos,17171744BE DFuuu u r uuu u r4.分析：分析：1(2,1,3),(1,3,2),cos2|AB ACABACBACABAC uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQBAC60，|sin607 3SABACouuu ruuu r设设（x，y，z），则，则ar230,aABxyz uuu rr222320,|33aACxyzaxyzuuu rrr解得解得 xyz1 或或 xyz1，（1，1，1）或）或（1，1，1）。arar5.解：解：22|()ACABADAAuuu u ruuu ruuu ruuu r222|222ABADAAAB ADAB AAAD AAuuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r 2224352 4 3 cos902 4 5 cos602 3 5 cos60 ooo16925020 1585所以，所以，。|85AC uuu u r