【创新设计】2014届高考数学一轮总复习-小题专项集训(十九)-推理证明、算法、复数增分特色训练-理-湘教版.doc

小题专项集训(十九)　推理证明、算法、
复数
(时间：40分钟　满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．复数z＝在复平面上对应的点位于 (　　)．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　z＝＝＝.故z在复平面上对应的点位于第二象限．
答案　B
2．i是虚数单位，复数＝ (　　)．
A．1－i B．1 C．2－i D．2＋i
解析　＝＝＝2－i.
答案　C
3．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是 (　　)．
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
答案　D
4．P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)．
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a的取值确定
解析　要证P<Q，只需证P2<Q2，
即证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，
即证：a2＋7a<a2＋7a＋12，即证：0<12，
∵0<12成立，∴P<Q成立．故选C.
答案　C
5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：
①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提．
其中正确的命题是 (　　)．
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
解析　大前提是增函数的定义，小前提是函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义．
答案　C
6．(2013·徐州模拟)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了 (　　)．
A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
解析　1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋…＋，共增加了2k项，故选D.
答案　D
7．i为虚数单位，2 013＝ (　　)．
A．0 B．i C．－i D．2 013
解析　2 013＝2 013＝i2 013＝i4×503＋1＝i.
答案　B
8．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是 (　　)．

A．50 B．49 C．100 D．99
解析　从程序框图反映的算法是S＝2＋4＋6＋8＋…，i的初始值为2，由i＝i＋2知，执行了49次时，i＝100，满足i≥100，退出循环．
答案　B
9．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出函数的是(　　)．

A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝ln x＋2x－6 D．f(x)＝sin x
解析　由框图知输出的f(x)为奇函数且存在零点，只有f(x)＝sin x符合．
答案　D

10．观察下图
1
2　3　4
3　4　5　6　7
4　5　6　7　8　9　10
…
则第几行的各数之和等于2 0132 (　　)．
A．2 013 B．2 011 C．1 006 D．1 007
解析　由题设图知，第一行各数和为1，第二行各数和为9＝32，第三行各数和为25＝52，第四行各数和为49＝72，…，∴第n行各数和为(2n－1)2.令2n－1＝2 013，解得n＝1 007.
答案　D
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是________．
解析　因为(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，a，b，c，d∈R，所以复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是ad＋bc＝0.
答案　ad＋bc＝0
12．已知程序框图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填________．

解析　a＝1时进入循环，此时b＝21＝2；a＝2时再进入循环，此时b＝22＝4；a＝3时再进入循环，此时b＝24＝16，∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3.
答案　a≤3
13．(2013·济南模拟)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N，且n>1)，第一步要证的不等式是__________________________________________．
解析　当n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，右边＝2，故填1＋＋<2.
答案　1＋＋<2
14．观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测m－n＋p＝________.
解析　m＝29＝512，p＝5×10＝50.
又m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.
答案　962
15．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到的类比的结论是________．

解析　在题图(1)△ABC中，作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF，∴＝＝.
类比：由题意知E到平面ADC与平面BCD的距离相等，则
＝，而＝＝＝.
∴＝.
答案　＝
5