《1.4.1-1.4.2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义》导学案1.doc

1.4.1-1.4.2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义导学案1课程学习目标1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，能利用角的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.4.了解周期函数的定义，并能简单应用.课程导学建议重点:正弦、余弦函数的定义及如何由角的终边上一点求这个角的正弦、余弦值.在此基础上讨论正弦、余弦函数的周期性，并由此拓展.难点:利用正弦、余弦函数的定义求函数值和化简等式.第一层级：知识记忆与理解知识体系梳理创设情境在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么？并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.知识导学问题1:一般地，在直角坐标系中(如图)，对任意角，它的终边与圆交于点P(a，b)，则比值叫作角的正弦，记作:sin =；比值叫作角的余弦，记作:cos =，r=.当r=1时，任意角的终边与单位圆交于点P(a，b)，我们可以唯一确定点P(a，b)，点P的纵坐标b是角的函数，称为正弦函数，记作:b=sin (R)；点P的横坐标a是角的函数，称为余弦函数，记作:b=cos (R).通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y=sin x(xR)，正弦函数值有时也叫正弦值；将余弦函数表示为y=cos x(xR)，余弦函数值有时也叫余弦值.问题2:终边相同的角的正弦函数值相同、余弦函数值相同，即若=+2k(kZ)，则sin =sin ，cos =cos .问题3:正、余弦函数值的符号(1)表格表示象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin 正正负负cos 正负负正问题4:周期函数的有关概念(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有 f(x+T)=f(x)，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期.如-2，2，4等都是它们的周期.其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.知识链接三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围.基础学习交流1.若sin 0，则的终边(不含端点)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】sin 0，可知在第一、四象限及x轴的正半轴上，故在第四象限.【答案】D2.已知角的终边经过点(-6，8)，则cos 的值为().A.-B.C.-D.【解析】cos =-.【答案】A3.若点P在角的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标是.【解析】x=|OP|cos =2(-)=-1，y=|OP|sin =.点P的坐标为(-1，).【答案】(-1，)4.在时钟钟面上，分针从如图位置开始顺时针走动，当分针走过1125时，求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A到OA的距离，设分针长为r cm).【解析】1125=3603+45，d=rsin 45=r(cm).第二层级：思维探索与创新重难点探究探究一判断正弦、余弦函数值的符号判断下列各式的符号.(1)cos(-345)；(2)sin 175 cos 248.【方法指导】先判断角所在的象限，然后利用函数值的符号规律加以判断.【解析】(1)-345=-360+15是第一象限角，cos(-345)0.(2)175是第二象限角，248是第三象限角，sin 1750，cos 2480，sin 175 cos 2480)进行分类讨论.于是，正确解答如下:在角的终边上取一点P1(4，-3).则r=|OP1|=5.于是sin =-，cos =，cos -=.在角的终边上取一点P2(-4，3).则r=|OP2|=5.于是sin =，cos =-，cos -=-=-.综上，cos -的值为或-.【小结】(1)在角的终边上取点，利用定义求sin ，cos ；(2)若终边落在直线上，则需分两种情况讨论.思维拓展应用应用一若角的终边落在直线y=-x上，求+的值.【解析】当的终边落在第二象限时，+=+=0；当的终边落在第四象限时，+=+=0.+=0.应用二若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f()=1，求f(-)的值.【解析】f(x)是以为周期的奇函数，f(-)=-f()=-f(3+)=-f()=-1.应用三 已知角的终边经过点P(x，-) (x0)，且cos =x，求sin +的值. 【解析】P(x，-)(x0)，点P到原点的距离r=.又cos =x，cos =x.x0，x=，r=2.当x=时，P点的坐标为(，-)，由三角函数的定义，有sin =-，=-，sin +=-=-；当x=-时，同理，可求得sin +=.第三层级：技能应用与拓展基础智能检测1.等于().A.B.C.-D.【解析】=|sin 120|=.【答案】B2.已知cos sin 0，sin 0，则在第四象限；若cos 0，则在第二象限.故选C.【答案】C3.求下列式子的值:(1)sin=；(2)cos 405=.【解析】(1)sin=sin(+6)=sin=1.(2)cos 405=cos(45+360)=cos 45=.【答案】(1)1(2)4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-，求证:f(x)是以2为周期的周期函数.【解析】f(x+2)=-=-=f(x)，即f(x+2)=f(x).由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.全新视角拓展(2011年江西卷)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin =-，则y=.【解析】r=，且sin =-，所以sin =-，则y=-8.【答案】-8第四层级：总结评价与反思思维导图构建学习体验分享固学案基础达标检测1.设角是第三象限角，P(x，-)是其终边上一点，若cos =x，则sin 的值为().A.B.-C.-D.【解析】P(x，-)，r=，由cos =x=得，x=，又是第三象限角，x=-，r=2，sin =-.【答案】C2.若函数f(x)=cos，则下列等式成立的是().A.f(2-x)=f(x)B.f(2+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x)D.f(-x)=f(x)【解析】f(-x)=cos (-)=cos=f(x).【答案】D3.是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是.sin；cos；cos 2；sincos.【解析】是第四象限角，是第二、四象限角，2是第三、四象限角，一定是负值的是sincos.【答案】4.已知f(x)=求f()+f()的值.【解析】f()+f()=cos+f(-1)-1=+f()-1=-+cos=-+=0.基础技能检测5.若是第三象限角，则+=().A.0B.-2C.-1D.2【解析】是第三象限角，sin 0，cos 0，故+=-1-1=-2.【答案】B6.设角的终边在第二象限，且|cos|=-cos，则角的终边在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 角是第二象限角，2k+2k+(kZ)，k+k+(kZ)，当k=2n(nZ)时，在第一象限；当k=2n+1(nZ)时，在第三象限.而|cos|=-coscos0，的终边在第三象限.【答案】C7.若定义域为R的周期函数f(x)的周期是2，且f()=，则f()=.【解析】由周期函数的定义得f()=f(2+)=f()=.【答案】8.已知是第二象限角，试判断sin(cos )cos(sin )的符号.【解析】是第二象限角，-1cos 0，0sin 1，sin(cos )0，sin(cos )cos(sin )0.即sin(cos )cos(sin )的符号为负号.技能拓展训练9.已知角的终边上一点P(-，m)且sin =m，则cos 所有的取值为.【解析】r=，sin =m，若m=0，则cos =-1；若m0，则m=，当m=时，cos =-=-，当m=-时，cos =-=-.【答案】-1或-10.已知f(n)=sin，nZ.(1)求证:f(1)+f(2)+f(8)=f(9)+f(10)+f(16)；(2)求f(1)+f(2)+f(2013)的值.【解析】(1)sin=sin(2+)=sin()，f(n)=f(n+8)，f(n)为周期函数，且8是它的一个周期，f(1)+f(2)+f(8)=f(9)+f(10)+f(16). (2)f(n)以8为周期，且2013=2518+5，f(1)+f(2)+f(2013)=251f(1)+f(2)+f(8)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5).又f(1)+f(2)+f(8)=sin+sin+sin=0，f(1)+f(2)+f(2013)=2510+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=sin+sin+sin+sin+sin=.