《1.4.1-1.4.2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义》导学案1.doc

《1.4.1-1.4.2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义》导学案1

课程学习目标
1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.
2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.
3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.
4.了解周期函数的定义，并能简单应用.
课程导学建议
重点:正弦、余弦函数的定义及如何由角的终边上一点求这个角的正弦、余弦值.在此基础上讨论正弦、余弦函数的周期性，并由此拓展.
难点:利用正弦、余弦函数的定义求函数值和化简等式.

第一层级：知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么？并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.
知识导学

问题1:一般地，在直角坐标系中(如图)，对任意角α，它的终边与圆交于点P(a，b)，则比值叫作角α的　正弦　，记作:sin α=；比值叫作角α的　余弦　，记作:cos α=，r= 　. 
当r=1时，任意角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，我们可以唯一确定点P(a，b)，点P的纵坐标b是　角α　的函数，称为　正弦　函数，记作:　b=sin α(α∈R)　；点P的横坐标a是　角α　的函数，称为余弦函数，记作:　b=cos α(α∈R)　. 
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为　y=sin x(x∈R)　，正弦函数值有时也叫正弦值；将余弦函数表示为　y=cos x(x∈R)　，余弦函数值有时也叫余弦值. 
问题2:终边相同的角的正弦函数值　相同　、余弦函数值　相同　，即若β=α+2kπ(k∈Z)，则sin α　=　sin β，cos α　=　cos β. 
问题3:正、余弦函数值的符号
(1)表格表示
　　　　象限
三角函数　　　
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin α
　正　 
　正　 
　负　 
　负　 
cos α
　正　 
　负　 
　负　 
　正　 

　　问题4:周期函数的有关概念
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在　非零　常数T，对定义域内的任意一个x值，都有　 f(x+T)=f(x)　，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的　周期　. 
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，　2kπ(k∈Z，k≠0)　为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π，2π，4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为　最小正周期　. 
知识链接

三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围.
基础学习交流
1.若sin α<0，cos α>0，则α的终边(不含端点)在(　　).
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】∵sin α<0，∴α在第三、四象限及y轴的负半轴上，由cos α>0，可知α在第一、四象限及x轴的正半轴上，故α在第四象限.
【答案】D
2.已知角α的终边经过点(-6，8)，则cos α的值为(　　).
A.- B.
C.- D.
【解析】cos α===-.
【答案】A
3.若点P在角的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标是　　　. 

　　【解析】∵x=|OP|cos =2×(-)=-1，
y=|OP|sin =.
∴点P的坐标为(-1，).
【答案】(-1，)

4.在时钟钟面上，分针从如图位置开始顺时针走动，当分针走过1125°时，求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离，设分针长为r cm).
【解析】1125°=360°×3+45°，d=rsin 45°=r(cm).

第二层级：思维探索与创新
重难点探究
探究一
判断正弦、余弦函数值的符号
判断下列各式的符号.
(1)cos(-345°)；
(2)sin 175° cos 248°.
【方法指导】先判断角所在的象限，然后利用函数值的符号规律加以判断.
【解析】(1)∵-345°=-360°+15°是第一象限角，
∴cos(-345°)>0.
(2)∵175°是第二象限角，248°是第三象限角，
∴sin 175°>0，cos 248°<0，
∴sin 175° cos 248°<0.
【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键，同时可结合图形帮助理解.
探究二

周期函数的证明
已知f(x+2)=-f(x)，求证:f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.
【方法指导】只需要找出常数T≠0，验证f(x+T)=f(x)(x∈R).
【解析】∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)，
∴f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.
【小结】一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，使得对任意x都有f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是一个周期为T的周期函数，故解决此类问题的关键是找出周期T，并证明上述等式成立.
探究三

利用正弦函数、余弦函数的定义求值
已知角α的终边在直线y=-x上，求cos α-的值.
【方法指导】在角α的终边上任取一点计算sin α、cos α，代入求解即可.
【解析】求角α的正、余弦值关键是确定角α的终边上任一点的坐标，所以在角α的终边上取一点P(4，-3)，
则r=|OP|===5.
于是sin α==-，cos α==，
所以cos α-=+=.
[问题]上述解法全面吗？
[结论]角α的终边在一条直线上时，要对角α的终边为射线y=-x(x≤0)还是为射线y=-x(x>0)进行分类讨论.
于是，正确解答如下:
①在角α的终边上取一点P1(4，-3).
则r=|OP1|===5.
于是sin α==-，cos α==，
∴cos α-=.
②在角α的终边上取一点P2(-4，3).
则r=|OP2|===5.
于是sin α==，cos α==-，
∴cos α-=--=-.
综上，cos α-的值为或-.
【小结】(1)在角α的终边上取点，利用定义求sin α，cos α；
(2)若终边落在直线上，则需分两种情况讨论.
思维拓展应用
应用一
若角α的终边落在直线y=-x上，求+的值.
【解析】当α的终边落在第二象限时，+=+=0；
当α的终边落在第四象限时，+=+=0.∴+=0.
应用二

若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f()=1，求f(-)的值.

　　【解析】∵f(x)是以为周期的奇函数，
∴f(-)=-f()=-f(3×π+)=-f()=-1.
应用三

已知角α的终边经过点P(x，-) (x≠0)，且cos α=x，求sin α+的值.
【解析】∵P(x，-)(x≠0)，∴点P到原点的距离r=.
又cos α=x，∴cos α==x.
∵x≠0，∴x=±，∴r=2.
当x=时，P点的坐标为(，-)，
由三角函数的定义，有sin α==-，==-，
∴sin α+=--=-；
当x=-时，同理，可求得sin α+=.

第三层级：技能应用与拓展
基础智能检测
1.等于(　　).
A.±　　　B.　　　C.-　　　D.
【解析】=|sin 120°|=.
【答案】B
2.已知cos θ·sin θ<0，那么角θ是(　　).
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角 D.第一或第四象限角
【解析】若cos θ>0，sin θ<0，则θ在第四象限；
若cos θ<0，sin θ>0，则θ在第二象限.故选C.
【答案】C
3.求下列式子的值:
(1)sinπ=　　　　；(2)cos 405°=　　　　. 
【解析】(1)sinπ=sin(+6π)=sin=1.
(2)cos 405°=cos(45°+360°)=cos 45°=.
【答案】(1)1　(2)
4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-，求证:f(x)是以2为周期的周期函数.
【解析】∵f(x+2)=-=-=f(x)，
即f(x+2)=f(x).
∴由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.
全新视角拓展

(2011年·江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=-，则y=　　　　. 
【解析】r==，且sin θ=-，所以sin θ===-，则y=-8.
【答案】-8

第四层级：总结评价与反思
思维导图构建

学习体验分享

固学案
基础达标检测
1.设角α是第三象限角，P(x，-)是其终边上一点，若cos α=x，则sin α的值为(　　).
A.　　　B.-　　　C.-　　D.
【解析】∵P(x，-)，∴r=，由cos α=x=得，x=±，又α是第三象限角，∴x=-，r=2，sin α===-.
【答案】C
2.若函数f(x)=cos，则下列等式成立的是(　　).
A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x)
【解析】f(-x)=cos (-)=cos=f(x).
【答案】D
3.α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是　　　　. 
①sin；②cos；③cos 2α；④sincos.
【解析】∵α是第四象限角，∴是第二、四象限角，2α是第三、四象限角，∴一定是负值的是sincos.
【答案】④
4.已知f(x)=求f()+f()的值.
【解析】f()+f()=cos+f(-1)-1=+f()-1=-+cos=-+=0.
基础技能检测

5.若α是第三象限角，则+=(　　).
A.0 B.-2 C.-1 D.2
【解析】∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，故+=-1-1=-2.
【答案】B
6.设角α的终边在第二象限，且|cos|=-cos，则角的终边在(　　).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ∵角α是第二象限角，
∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z)，
∴kπ+<<kπ+(k∈Z)，
当k=2n(n∈Z)时，在第一象限；当k=2n+1(n∈Z)时，在第三象限.
而|cos|=-cos⇒cos≤0，
∴的终边在第三象限.
【答案】C
7.若定义域为R的周期函数f(x)的周期是2π，且f()=，则f()=　　　　. 
【解析】由周期函数的定义得f()=f(2π+)=f()=.
【答案】
8.已知α是第二象限角，试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.
【解析】∵α是第二象限角，∴-<-1<cos α<0，0<sin α<1<，
∴sin(cos α)<0，cos(sin α)>0，
∴sin(cos α)·cos(sin α)<0.
即sin(cos α)·cos(sin α)的符号为负号.
技能拓展训练

9.已知角θ的终边上一点P(-，m)且sin θ=m，则cos θ所有的取值为　　　　. 
【解析】∵r=，
∴sin θ==m，
若m=0，则cos θ=-1；若m≠0，则m=±，
当m=时，cos θ=-=-，
当m=-时，cos θ=-=-.
【答案】-1或-
10.已知f(n)=sin，n∈Z.
(1)求证:f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16)；
(2)求f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.
【解析】(1)∵sin=sin(2π+)=sin()π，
∴f(n)=f(n+8)，
∴f(n)为周期函数，且8是它的一个周期，
∴f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16).
(2)∵f(n)以8为周期，且2013=251×8+5，
∴f(1)+f(2)+…+f(2013)=251[f(1)+f(2)+…+f(8)]+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5).
又f(1)+f(2)+…+f(8)=sin+sin+…+sinπ=0，
∴f(1)+f(2)+…+f(2013)=251×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=sin+sin+sin+sin+sin=.