【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习-9-7用向量方法证明平行与垂直配套训练(含解析)新人教.doc

【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 9-7用向量方法证明平行与垂直配套训练（含解析）新人教B版
基础巩固强化
1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若＝z＋x＋y，则x＋y＋z的值为(　　)
A．1　　　　B.　　 　C．2　　　　D.
[答案]　C
[解析]　∵＝＋＝＋＋.
∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.
2．(2012·银川质检)若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　)
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
[答案]　B
[解析]　∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋(－4)×6＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
[答案]　C
[解析]　·＝(＋)·
＝(·＋·)
＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.
故选C.
4．已知二面角α－l－β的大小为60°，点B、C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2，BC＝1，CD＝3，则AD的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
[答案]　C
[解析]　由条件知||＝2，||＝1，||＝3，⊥，⊥，〈，〉＝120°，＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋9＋2×2×3×cos120°＝8，
∴||＝2.
5．平面α经过三点A(－1,0,1)、B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是(　　)
A. B．(6，－2，－2)
C．(4,2,2) D．(－1,1,4)
[答案]　D
[解析]　设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.
6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)
A．150° B．45°
C．60° D．120°
[答案]　C
[解析]　由条件知，·＝0，·＝0，
＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉
＝116＋96cos〈，〉＝(2)2，
∴cos〈，〉＝－，
∴〈，〉＝120°，所以二面角的大小为60°.
7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．

[答案]　1
[解析]　以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，
设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，∴F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF即可，
∵＝(－1,0，－t)，＝(k－1,0,1)，
∴·＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.
8．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD中，·＝0,22＋2＝4，若将其沿BD折成直二面角A－BD－C，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________．

[答案]　π
[解析]　因为AB⊥BD，二面角A－BD－C是直二面角，所以AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AD⊥DC.故△ABC，△ADC均为直角三角形．取AC的中点M，则MA＝MC＝MD＝MB，故点M即为三棱锥A－BCD的外接球的球心．由22＋2＝4⇒2＋2＋2＝2＝4，∴AC＝2，∴R＝1.故所求球的体积为V＝π.
9．(2012·厦门质检)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为________．
[答案]　
[解析]　|a|＝＝3，
|b|＝＝3，
a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝|a||b|·sin〈a，b〉＝.
10.

(2012·天津调研)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.
∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，
易得CD＝AC＝，∴AC⊥CD.
又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD.

(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)．
∵∥，
∴y·(－1)－2(z－1)＝0①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.
∴⊥.
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.
将y＝1代入①，得z＝.∴E是PD的中点，
∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.
能力拓展提升
11.

直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．
求证：CE⊥A′D.
[证明]　设＝a，＝b，＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
12．在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点．

求证：(1)B1D⊥平面ACD1；
(2)BO1∥平面ACD1.
[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，

则B(1,0,0)，O1(，，1)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，∴＝(－1,1，－1)，＝(0,1,1)，＝(1,1,0)，＝(－，，1)．
(1)∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
∵与不共线，∴⊥平面ACD1，
∴B1D⊥平面ACD1.
(2)∵·＝0，∴⊥，∴∥平面ACD1.
又BO1⊄平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.
[点评]　第(2)问还可以通过证明＝(其中O为AC中点)证明．
13.

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；
(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.
[证明]　(1)

如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，由条件知，OA＝OC＝8，PO＝6，OB＝8，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．
因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，
所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)，
由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.
又直线FG不在平面BOE内，
所以FG∥平面BOE.
(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，
则＝(x0－4，y0，－3)．
要使FM⊥平面BOE，只需∥n，
因此x0＝4，y0＝－，
即点M的坐标是(4，－，0)．
在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组
经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.
14．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，H、F分别为AB、CC1的中点，各棱长都是4.
(1)求证CH∥平面FA1B.
(2)求证平面ABB1A1⊥平面FA1B.
(3)设E为BB1上一点，试确定E的位置，使HE⊥BC1.
[解析]　在正三棱柱中，∵H为AB中点，∴CH⊥AB，过H作HM⊥AB交A1B1于M，分别以直线AB、HC、HM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(0,2，2)，A(－2,0,0)，A1(－2,0,4)，C1(0，2，4)．
(1)证明：∵＝(0,2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(－2，2，2)，∴＝(－)，
∵与不共线，∴∥平面FA1B，
∵HC⊄平面FA1B，∴HC∥平面FA1B.
(2)证明：平面ABB1A1的一个法向量为n1＝＝(0,2，0)，
设平面FA1B的一个法向量n＝(x，y，z)，则
∴∴
令x＝1得n＝(1,0,1)，
∵n·n1＝0，∴n⊥n1，∴平面ABB1A1⊥平面FA1B.

(3)∵E在BB1上，∴设E(2,0，t)，(t>0)，则＝(2,0，t)，＝(－2,2，4)，∵HE⊥BC1，
∴·＝－4＋4t＝0，∴t＝1，
∴E是BB1上靠近B点的四等分点(或BE＝BB1)．
15．如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．求证：

(1)直线AR∥平面PMC；
(2)直线MN⊥直线AB.
[证明]　证法1：(1)连接CM，∵ABCD为矩形，R、M分别为AB、CD的中点，∴MA綊CR，∴AMCR为平行四边形，∴CM∥AR，
又∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC.
(2)连接MR、NR，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面AC，∴PA⊥AB，AB⊥平面PAD，∵MR∥AD，NR∥PD，
∴平面PDA∥平面NRM，
∴AB⊥平面NRM，则AB⊥MN.
证法2：(1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，AP＝c，则B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，∵M、N、P分别为AB、PC、CD的中点，∴M(，0,0)，N(，，)，R(，b,0)，∴＝(，b,0)，＝(，0，－c)，＝(，b,0)，设＝λ＋μ，∴∴＝，∴AR∥MC，
∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC.
(2)＝(0，，)，＝(a,0,0)，
∵·＝0，∴⊥，∴MN⊥AB.

1．(2011·绍兴月考)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
[证明]　

(1)如图，＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．
(2)∵＝－
＝－＝(－)＝，
且E、H、B、D四点不共线，∴EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
2.

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
[证明]　以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．

设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝(1，－，0)，＝(－1,0,1)，
∴即
令x＝1，则y＝2，z＝1，∴n＝(1,2,1)．
设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，
由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，
∴即

令a＝－1，则m＝(－1,0,1)．
∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝0，
∴平面C1E1F⊥平面CEF.
3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明]　∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．

(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．
∴C(，，0)，E(，，)．
设D(0，y,0)，∵AC⊥CD，∴·＝0，
∴y＝，∴D(0，，0)，∴＝(－，，0)．
又＝(，，)，
∴·＝－×＋×＋0×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)方法1：∵P(0,0,1)，∴＝(0，，－1)．
∴·＝×0＋×＋×(－1)＝0，
∴⊥，∴PD⊥AE.
∵＝(1,0,0)，∴·＝0，
∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE.
方法2：设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(1,0,0)，＝(，，)，
∴∴
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－.
∵＝(0，，－1)，显然＝n.
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.