一题多解的应用.doc

例题： 已知tan=,求sin,cos的值分析：因为题中有sin、cos、tan，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一 根据同角三角函数关系式tan=，且sina2 + cos2 =1。两式联立，得出：cos2=,cos=或者cos= -；而sin=或者sin=-。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tan=：在第一、三象限在第一象限时：cos2 =cos=sin=而在第三象限时：cosa=-sina=-分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三 tan= sin=，cos=或sin=-，cos=-法四 当为锐角时，由于tana=,在直角ABC中，设=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5xsinA=,cosA=sin=，cos=或sin= -，cos= -分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：法五 当为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设=AOT， 因为tan=，则T点坐标是T(1,),由勾股定理得：OT=OMP0AT=，OM=, MP =, p(,),sin=，cos=或sin=-，cos= -分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程y=x；x2+y2=1两式联立，得出：， 或.T点坐标是P(-, -) P(,)sin=，cos=或sin= -，cos= -分析： 先考虑sin、cos两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：解法七，tan=4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sin（a+）= 0,其中，sin=, cos=a+=k ，kZsina=sin（k -）=sin在第一、三象限容易求出sin=，cos=或sin=-，cos= -分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，由二倍角公式，得，tan=3tan2+8tan-3=0tan= -3,或tan=sin=2sincos=2sin=，cos=或sin= -，cos= -