一题多解的应用.doc

例题： 已知tanα= ,求sinα,cosα的值
分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：
法一 根据同角三角函数关系式tanα= = ，且sina2α + cos2α =1。
两式联立，得出：cos2α=,cosα= 或者cosα= - ；而sinα=或者sinα=- 。
分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：
法二 tanα=：α在第一、三象限
在第一象限时：
cos2α = ==
cosα= sinα==
而在第三象限时：
cosa=-  sina=- 
分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：
法三 tanα= = 
↔= 
↔= = ±
∴sinα=，cosα= 
或sinα=-，cosα=-
法四 当α为锐角时，由于tana=,在直角△ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5x
sinA= = ,cosA= =
∴sinα= ，cosα=
或sinα= -，cosα= -
分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：
法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT， 因为tanα= ，则T点坐标是T(1,  ),由勾股定理得：OT== 
∵△OMP∽△0AT∴== ，OM=, MP =, p(, ),

∴sinα= ，cosα= 
或sinα=-，cosα= -
分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：
解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程
y= x；x2+y2=1
两式联立，得出： ， 或 .
T点坐标是P(-, -) P(,  )
∴sinα= ，cosα=
或sinα= -，cosα= -
分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：
解法七，tanα= = 
4sina-3cosa=0
由三角函数辅助角公式得，
5sin（a+φ）= 0,其中，sinφ= , cosφ=
∴a+φ=kπ ，k∈Z
sina=sin（kπ -φ）=sinφ
α在第一、三象限
∴容易求出sinα= ，cosα= 
或sinα=-，cosα= -
分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：
解法八，由二倍角公式，得，tanα== 
3tan2 +8tan-3=0
∴tan= -3,或tan=
sinα=2sincos==2
∴sinα= ，cosα=
或sinα= -，cosα= -