九年级几何综合题.doc

几何探究题
1、（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．

①如图1，求证：；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．
①猜想：如图4， （用含的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．

（1）①证法一：与均为等边三角形，
，
且
，
即
证法二：与均为等边三角形，
，且可由绕着点按顺时针方向旋转得到
②，，．（2）①②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，

，即． ．
，，
，

证法二：同上可证 ．
，如图，延长交于，
，

证法三：同上可证 ．
．

，

即
2、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

（1）解法一：如图25-1
过A作AE⊥CD，垂足为E .
依题意，DE=.
在Rt△ADE中，AD=.
图25-1
解法二：如图25-2
过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 .
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 .
（2）解：如图25-1
图25-2
∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：
S=PD·h
=(9－x)·x·sin60°
=(9x－x2)
=－(x－)2＋.
由题意，知0≤x≤5 .
当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.
连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .
图25-3
易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.
证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ∥BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
图25-4
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=
已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为____________________________________．
对图（3）的探究结论为_____________________________________．
证明：如图（2）

结论均是PA2＋PC2＝PB2＋PD2（图2 2分，图3 1分）
证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC
在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2
在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2
在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2
在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2
所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2
PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形
所以MD＝NC，同理AM ＝ BN，
所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
即PA2＋PC2＝PB2＋PD2
3、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（第22题）
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）；．
（2）在中，，
．
设点的坐标为，其中，
顶点，
设抛物线解析式为．
①如图①，当时，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
抛物线的解析式为
②如图②，当时，，
．
解得（舍去）．
③当时，，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
（3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．
，．
．
．
又，
，此时四边形的周长最小值是．

4、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．

(1)①
仍然成立
在图（2）中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴ ，，

∴ （SAS）
∴
又∵
∴ ∴
∴
（2）成立，不成立
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形，
且，，，(，)

∴ ，
∴
∴
∴
又∵
∴ ∴
∴
（3）∵ ∴
又∵，，
∴
∴
5、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
O
D
C
B
A
图3
P
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
F
P(O)
D
C
B
A
图1

⑴ ①略；②PC－PA＝CE；⑵结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA－PC＝CE；
将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
（第24题图）
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
E

解：（1），．
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y

图3
O
F
A
x
B
C
y
E
Q
P

（2）当时，过点作，交于，如图1，
则，，
，．
（3）①能与平行．
若，如图2，则，
即，，而，
．
②不能与垂直．
若，延长交于，如图3，
则．
．

．
又，，
，
，而，
不存在．

6、如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．
（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；
（2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；
（3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

（1）证明：在正方形中，
无论点运动到上何处时，都有
= ∠=∠ =
∴△≌△
(2)解法一：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，
过点Q作⊥于,⊥于，则 =
==
∴=
由△ ∽△得 解得
∴时，△的面积是正方形面积的

解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，过点作⊥轴于点，⊥轴于点．
== ∴=
∵点在正方形对角线上 ∴点的坐标为
∴ 过点（0，4），(两点的函数关系式为：
当时， ∴点的坐标为（2，0）
∴时，△的面积是正方形面积的．
（3）若△是等腰三角形，则有 =或=或=
①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知 =
此时△是等腰三角形
②当点与点重合时，点与点也重合，
此时=, △是等腰三角形
③解法一：如图，设点在边上运动到时，有=
∵ ∥ ∴∠=∠
又∵∠=∠ ∠=∠
∴∠=∠
∴ ==
∵= = =4
∴
即当时，△是等腰三角形

解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，设点在上运动到时，有=．
过点作⊥轴于点，⊥轴于点,则
在△中，，∠=45°
∴=°=
∴点的坐标为（，）
∴过、两点的函数关系式：+4
当=4时， ∴点的坐标为（4，8-4）．
∴当点在上运动到时，△是等腰三角形．

8、已知∠MAN，AC平分∠MAN。
⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
⑶在图3中：
①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC;
第25题图
②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。

解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAB＝∠CAD＝60°，
E
F
G
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，
∴AB＝AD＝AC，
∴AB＋AD＝AC。
⑵成立。
证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。
∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,
∴∠CDE＝∠ABC,
∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,
∴AB＋AD＝AC
证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG.
∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,
∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,
∴BG＝AD,
∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，
⑶①;
②.
证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，
在Rt△AFC中，,即,
∴,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，