函数值域求法的应用.doc

函数值域求法的应用宣汉县第二中学 杜林对于函数的三要素之定义域和值域这两大要素，我们要有解决它们的办法。在上一篇文章中，我们已经学习了函数定义域的求法；下面我们来学习求函数值域的几种常见方法 1直接法：先掌握常见函数的值域情况，然后通过常见函数的复合来求解值域。一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0，=，当x0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3判别式法（法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3求函数的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 当 y1时 xR =(y+5)+4(y-1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0检验 时 （代入求根）2 定义域 x| x2且 x3 再检验 y=1 代入求得 x=2 y1综上所述，函数的值域为 y| y1且 y方法二：把已知函数化为函数 (x2) 由此可得 y1 x=2时 即 函数的值域为 y| y1且 y说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4换元法例4求函数的值域解：设 则 t0 x=1-代入得 t0 y45分段函数例5求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，我们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法。