函数值域求法.doc

玩数学汇总—函数值域求法+经典例题解析（上）
 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域推荐以下几种方法。
基本知识         
1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2.函数值域常见的求解思路：   
  ⑴ 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。  
  ⑵ 反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。    
  ⑶ 可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。     
     特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。   
  ⑷ 可以用函数的单调性求值域。 
  ⑸ 其他。 
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域，性质的观察，结合函数解析式，求得函数值域。
例1：求函数y=1/x的值域。
解：∵，∴
显然函数的值域是：
2. 配方法   
 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2：求函数Y=x2-2x+5  x∈[-1，2]的值域.

解：将函数配方得： Y=（x-1）2+4

∵x∈[-1，2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，,当X=-1时，

故函数的值域是：[4，8]

3.判别式法
例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：

∵x∈R       ∴

解得：

但此时的函数的定义域由,得

由△≥0，仅保证关于x的方程：Y=2x2-2(y+1)x+y2=0 。在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有

实根，由 △≥0。求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1/2，3/2]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值

∵0≤x≤2，∴

∴    解得：     即当

原函数的值域为：

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.

例4. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：  其定义域为：x≠3/5

故所求函数的值域为

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域

例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：可化为为即

∵x∈R     ∴    即解得
故函数的值域为

6. 函数单调性法

例6. 求函数的值域。

解：令，则在[2，10]上都是增函数。

所在[2，10]上是增函数

当x=2时， 

当x=10时，

故所求函数的值域为：。