函数值域求法十种.doc

函数值域的常用求法

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数的值域。
解：∵∴
显然函数的值域是：

例2. 求函数的值域。
解：∵
故函数的值域是：

2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数的值域。
解：将函数配方得：∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法
例4. 求函数的值域。
分析与解答：因为，原函数变形为：
（1）
当时，求得，所以。
当时，因为，所以一元二次方程（1）有实数根。则：
，即：
所以，

4. 分离常数法

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：∵∴
解得：故所求函数的值域为

6. 函数单调性法
例9. 求函数的值域。
解：令则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数当x=2时，
当x=10时，所求函数的值域为：

例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数的值域。
解：令，
则
∵
又，由二次函数的性质可知
当时，
当时，
故函数的值域为
8.基本不等式法
利用重要不等式，求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。