概率统计复习.doc

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概率统计复习
1.2例题四 ，1.3例题二、四，1.4例题一、六、七，1.5例题四，2.2例题四、五，2.3例题二，2.4例题一、三、四，2.5例题一、二、三，3.1例题一、二，3.2例题二，4.1例题一、三、五、六，4.2例题一、五、七、八，4.3例题一、六，4.3例题四、六，4.4例题一、二、五，5.2例题一、四，5.3例题一、二，6.1例题一，6.2例题一、五

1.2习题四
已知P（A）=P（B）=P（C）=，，，求事件A，B，C全不发生的概率。
解：

1.3习题一
袋中装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求求取到的两个球颜色不同的概率;求取到的两个球有黑球的概率。
解： 设A=｛取到的两个球颜色不同｝，则
.

1.4习题二
假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任1件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解： 令A为“取到的是i等品”，i=1,2,3，
.

1.4习题三
设10件产品中有4件不合格产品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解： “已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况 (1) 是不合格
品，即一件为合格品，一件为不合格品 (2) 为合格品，即两件都是合格品。 对于 (1); 对于 (2). 提问实际上是求在这两种情况下 (1) 的概率，则

1.4习题七
用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格的概率分别等于0.94、0.9、0.95,求全部产品中的合格率。
解： 设事件A、B、C分别表示三个机床加工的产品，事件E表示合格品，依题意，

由全概率公式

1.4习题八
某仓库有同样规格的产品六箱，其中三箱是甲厂生产的，二箱是乙厂生产的，另一箱是丙厂生产的，且它们的次品率依次为，先从中任取一件产品，试求取得的一件产品是正品的概率。
解： 设Ai（i=1,2,3）分别表示所取一箱产品是甲乙丙厂生产的事件，B为“取得一件产品为正品”，则

由全概率公式

1.5习题四
一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵，若使用100小时候，雷达失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.3，若两部分失灵与否为独立的，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。
解： 记事件A为“报警器使用100小时候雷达失灵”，事件B为“报警器使用100小时后计算机失灵”，依题意得

从而所求概率为

2.2.习题九
纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.
解：以X记纺锭断头数,  n=800,p=0.005,np=4,
应用泊松定理，所求概率为：
     P{0≤X≤2}=P{{X=xi}=b(k;800,0.005)
                  ≈P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.

2.3习题五
设X的分布函数为，求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.
解： P{0.4<X1.3}= F (1.3)-F(0.4)=(1.3-0.5)-=0.6,
P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-=0.75,
P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.

2.4习题三
设连续型随机变量X的分布函数为，试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数f(x).
解：(1) ∴A=1;
又     ∴B=-1.
(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.
(3)f(x)=F′(x)=
2.4习题五
设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.
解：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘 客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概 型. Y服从二项分布，其参数
              n=10,等待时间超过四分钟的概率p=P{X≥4}==0.2,
所以         P{Y=1}=×0.2×0.810-1≈0.268.（n重伯努利概型在书本32页）
2.4习题十
设顾客排队等待服务的时间X（以分钟计）服从的指数分布，某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P。
解：因为等待服务的时间X(以分钟计)服从λ=1/5 的指数分布 所以先计算离开的概率 P(X>10)=1-P(X10)=1-1+= 那么他等到服务的概率是（1-） 那么Y的分布是
P(Y=y)=， P(Y=0)=所以
P(Y1)=1-P(Y=0)=
2.5习题五
设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.
解： 因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).

FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}=
当y<1时，，当y时，=P=2
所以Y(y)=F′Y(y)=

4.1习题五
设随机变量X的分布律为
X
-2
0
2
pi
0.4
0.3
0.3
求
解： E（X）=-2×0.4+0×0.3+2×0.3= -0.2
E=（-2）2×0.4+22×0.3=2.8
E==13.4

4.1习题六
设连续型随机变量X的概率密度为， 其中k，a>o,又已知E（X）=0.75，求k，a的值.
解：
即

4.3习题二
设X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2，试求E（Y），D（Y），及.
解： ，

5.2习题二
设总体X~N（0,1），X1,X2，…，Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布？
（1） ；（2）；（3）

5.2习题六
查表求标准正态分布的下列上侧分位数：。

5.2习题七
查表求分布的下列上侧分位数：

6.2习题一
设X1,X2,⋯,Xn为总体的一个样本，x1,x2,⋯,xn为一相应的样本观察值，求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值及最大似然估计量， 其中c（c>0）为已知，（θ>1）为未知参数 (2)， 其中（θ>0）为未知参数
(3)，其中x=0,1,2,⋯,m,p（0<p<1）为未知参数.
解：(1)，令 ，
似然函数

（解唯一故为极大似然估计量）
（2）

（解唯一故为极大似然估计量）
(3)
，
，
解得（解唯一故为极大似然估计量）
6.2习题二
设总体X服从均匀分布U[0,θ],它的密度函数为
(1)求未知参数θ的矩估计量(2)当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时，求θ的矩估计值.
解： (1)因为 ，

(2)由所给样本的观察值算得
(0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55)=0.4817，
所以=2=0.9634.

6.2习题五
设总体X具有分布律
X
1
2
3
pi

其中θ(0<θ<1)为未知参数. 已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1, 试求θ的矩估计值和最大似然估计值.
解：E(X)=1×θ2+2×2θ(1-θ)+3×(1-θ )2=3，
=×(1+2+1)=.
因为E(X)=, 得
L(θ)==P{X1=1}P{X2=2}P{X3=1}
=
lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ)，求导
得到唯一解为