初三数学解题智慧之二次根式.docx

初三解题智慧
二十一 二次根式
一、二次根式的隐含条件
形如a的二次根式，满足条件a≥0；显然当a≥0时，=a，当a＜0时，=-a
1.若=1-2a，则a的取值范围是 。
2．已知x，y为实数，且y=12+8x-1+1-8x，则x：y= 。
3．已知a为实数，则代数式a+4-+的值为 。
4．等式∙=，则x的取值范围 。
5．当x取什么值的时候，+1的值最小，并求出这个最小值？
二、二次根式的化简
对于a＜0时， =-a，=-a，=‒，等等
将下列二次根式化为最简根式
1． 已知xy＜0，化简：=
2． 将下列二次根式化为最简二次根式：
x ；-x ；x；‒ x；（x-1）
三、“1”的灵活运用
形如（）（）=1，= ，一般形式为= 等
1． 比较3-2与6-5的大小；
2． 计算（+ + +……+ ）(+1)
四、运用“整体思想”求代数式的值
形如x+a= ，应设法化为（x+a）2=b2，从而得到x2+2ax=b2-a2,将x2+2ax看成整体代入代数式中求解代数式的值
1． 已知x=-1，求x3+3x2+5的值
2． 若x=3-1，则= 。
五、由=，则①m=，n=
②配方法
等式两边各平方，则可得=m+n,则，所以运用配方法时设法得到：=
形如==
化简；；
六、比较二次根式大小的方法
1．外因内移法：将根号外的正因式移入根号内，转化为比较被开放数的大小：
比较7和6的大小
3． 平方法：两边同时平方，转化为比较幂的大小
比较13+7和17+3的大小
4． 分母有理化：各自先分母有理化，再比较大小.
比较和的大小
4.分子有理化：各自先分子有理化，再比较大小
若a＞1，比较-与-的大小
5． 求差法：通过比较两式的差与零的大小来确定原式的大小。
比较3-与-2的大小
6． 求商法：通过比较两式的商与1的大小确定原式的大小
若a＞b＞0，比较与的大小.
7． 倒数法：先求出各式的倒数，通过比较倒数的大小确定原式的大小
比较与的大小
8． 中间值法
比较与
七、二次根式的运算技巧举例
1．“x+y”，“xy”、x2+y2、x-y、等代数式间的关系：x2+y2=（x+y）2-2xy，x2+y2=（x-y）2+2xy这些关系式在求解代数式解中的运用
例1．已知，求的值。
例2．已知x= ，y= ，求下列各式的值：
（1）；（2）
2．平方差公式的运用（正用或逆用）
例1 计算
3．分子有理化或分母有理化化简运算
例1
.4. 利用①
②通过，得到=a
例1．已知x+=4，则x－= .
例2.已知：，求的值。