全等三角形推理拔高经典题目.doc

截长补短、倍长中线
1、已知：如图， AD、BE是△ABC的高，AD和EB的延长线相交于H， 且BH=AC.
求证：AD=DH -BC

2、如图，四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于E，且DE=CE，AB=AD+BC，
求证：AD∥BC．

3、已知：如图，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°.
试探究线段AD与EF数量和位置关系.

4、若△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，设CE= a，CD= b，求 之间的数量关系

5、如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．
求证：∠C=∠BAE．

6、如图，△ABC中，∠A=2∠B，AB=2AC，求证：∠C=90°.

全等训练
1.已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

2. △ABC中, AB = AC = BC, △DCB 中, DC = DB, ∠BDC = 120°, E、F分别为AB、AC上的点,
A
C
B
D
E
F
∠EDF =60°. 求证: EF = BE + CF ．

3．已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
（1）当绕点旋转到于时（如图1），易证
（2）当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

4. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，且60°<<120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°—．
（1）用含的代数式表示∠APC，得∠APC =______________；
（2）求证：∠BAP=∠PCB；
（3）求∠PBC的度数．

5．数学课上，张老师提出问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，
且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，
易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为 小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF” 仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3

6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A，BE、CD交于点O.求证：BD=CE.

7．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD．

8.已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF 相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

9.如图1，直线l1:y=3x+3与x轴交于B点，与直线l2交于y轴上一点A，且l2与x轴的交点为C（1，0）.
（1）求证:∠ABC=∠ACB.

（2）如图2,过x轴上一点D(,0)作DE⊥AC于E,DE交y轴于F点，交AB于G点，求Ｇ点坐标.

（3）如图3，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P(P不同于A、C两点)，过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ,在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，求其长度；若变化，确定其变化范围.

10. 如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．
求证：AC=BF．

11. 已知: 如图, 在△ABC中, AB = AC, D为△ABC外一点, ∠ABD = 60°,
∠ADB = 90° -∠BDC.
求证: AB = BD + DC

12. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作 ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．
试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

.

13.已知四边形中，，，，，，
绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请 给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

图1

图2
图3

14.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．
试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

15.如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
（1）求证：CE=CF．
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，
如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．
图（1）
图（2）

16. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边 形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，

设CD，BE相交于点O，\
若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=∠A．
请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，
且∠DCB=∠EBC=∠A．
探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

E

17.在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180o.

图1

18．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．
图2

19.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠A、∠C的角平分线AD、CE相交于F，求证：EF=DF

A
B
C
D
E
20.在△ABC中，∠ABC＝100O，∠C的平分线交AB边于E，在AC边上取点D，
使得∠CBD＝20O，连结DE.求∠CED的度数.

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