上海市杨浦区XXXX学年第二学期高三年级教学质量检测数学(理科)试卷.docx

上海市杨浦区2007学年第二学期高三年级教学质量检测
数学理科试卷
　 2008.4．16
题 号
一
1---12
二
13---16
三
17
18
19
20
21
22
得 分

复核人

★考生注意：1、试卷中使用向量的符号表示意义相同．
2、本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟．可使用符合规定的计算器答题．

得 分
评 卷 人

一．填空题（本大题满分48分）
本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
１. 不等式的解为　　　　　．
2. 若，则＝　　　　　．
3. 若集合A＝，B＝，且，则实数的取值范围是　　　　　．
4. 方程的解是　　　　　　．
5. 若函数的反函数是，则 ．
6. 若直线与圆相切，则实数的取值范围是　　　　　．
7. 在中，若，则　　 　．
8. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点，则线段中点的轨迹方程为　　　 　　．
9. 无穷等比数列的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：的分数，为正整数），若该数列的各项和为3，则　　　　　．
10. 某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加的概率为，则该学习小组中的女生有 名．
11．若曲线的参数方程为为参数，），则该曲线的普通方程为 ．
12. 若正方形边长为1，点在线段上运动，则的取值范围是　　　 　　．

得 分
评 卷 人

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出
四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的
代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.

13. 设函数的定义域为R，且是以3为周期的奇函数， （），则实数的取值范围是 （ ）
(A) (B)或 (C) (D)
14. 以分别表示等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
(A) 7 (B) (C) (D)
15. 在极坐标系中，曲线关于 （ ）
(A)直线轴对称 (B)点中心对称
(C)直线轴对称 （D）极点中心对称
16. 在直三棱柱中，；＝1．已知分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围为 （ ）
(A) （B） （C） （D）

三、解答题 （本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

得 分
评 卷 人

17．（本题满分12分）
在棱长为2的正方体中，（如图）是棱的中点，是侧面的中心．
（1） 求三棱锥的体积；
（2） 求与底面所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）
A
B
C
D
A1
B1
C1
F
E
D1

得 分
评 卷 人

18. （本题满分12分）
已知复数，，其中是虚数单位，．
（1）当时，求； (2) 当为何值时，．

得 分
评 卷 人

19. （本题满分14分）
设函数＝ ，
其中．
（1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）求函数的最小值．

得 分
评 卷 人

20. （本题满分14分）
建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小．
（１）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？
（２）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？
A
D
B
C
60
h

得 分
评 卷 人

21. （本题满分16分）
已知向量， （为正整数），
函数，设在(０，上取最小值时的自变量取值为．
（１）求数列的通项公式；
（２）已知数列，对任意正整数，都有成立，设为数列的前项和，求；
（３）在点列中是否存在两点 (为正整数)使直线的斜率为１？若存在，则求出所有的数对；若不存在，请你写出理由．

得 分
评 卷 人

22. （本题满分18分）
在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．
（1）已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
（2）射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点，且，求椭圆的方程；
（3）对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换,得抛物线．若，求数列的通项公式．

上海市杨浦区2007学年第二学期高三年级教学质量检测
数学试卷参考答案及评分标准　 2008.4.16

一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1．； 2. ； 3. ； 4. ；
5. 2； 6. ； 7.； 8. 理；文（等） ；
9.； 10.文理3； 11.理, 文 -2.；
12.[-2，]．

二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

题 号
13
14
15
16
理 科
C
B
C
A
文 科
C
D
C
B

三．（第17至22题）

17.解：
（1）． （体积公式正确3分）------------（6分）
（2）取的中点，所求的角的大小等于的大小，-------------------（8分）
在中，所以与底面所成的角的大小是． -------------------------------------------------------（12分）
（建坐标系解答参照本标准给分）．

18.解：
（1）, 则，------------------------------------(2分)
． -----------------------------------（6分）
(2) z1＝z2，由两复数相等的充要条件可得，----------------------- （8分）
∴得．-----------------------------------------（12分）
（另解： 得 ）
19.解：
解：（1）＝ ，---------------（1分）
令，得，--------------------------（3分）
解得：或，（5分）．-------（8分）
(写出：-------------------------------- （4分)）

（2）当时，，设，在上递增，所以-----------------------------------------------------------------（10分） （说明：换元及单调性省略不扣分）
同理，当；----------------------------------（12分）
又．---------------------------（14分）
另解：因为是偶函数，所以只需要考虑的情形，-------------------------------（9分）
当；---------------（11分）
当时，，当时，；-------------（12分）
．------------------------------------------（14分）
20.解
理科评分标准：
解（1）
， ----------------------------------------------------------（1分）
AD＝BC+2×hcot=BC+，-------------------------------------------------------------（2分）
，．-------------------------------------------（3分）
设外周长为，则，------------------------------（4分）
；------------------------------------------------------------------------------（6分）
当，即时等号成立．
外周长的最小值为米，此时渠高为米．---------------------------------------------（8分）
(2) 外周长为=
设，则,是的增函数，------------------------------------------------------（12分）
(米)．-------------------------------------------------------------（14分）

20文科评分标准：
解：AD＝BC+2×hcot=BC+，------------------------------------------------------（2分）
，---------------------------------------------（3分）
．----------------------------------------------------------------------------------（4分）
设外周长为，则，-----------------------------（7分）
；----------------------------------------------------------------------------（10分）
当，即时等号成立．----------------------------------------------------（12分）
外周长的最小值为米，此时渠高为米．-----------------------------------------（14分）
21.解：
(1)-----------（２分）
抛物线的顶点横坐标为，开口向上，在(０，上当时函数取得最小值，所以； --------------------------------------------------------------（4分）

理科评分标准：
（2）．---（6分）

，--------------------------------（8分）
； ---------------------------------------------------（10分）
（3）任取，设所在直线的斜率为，则
． -----------------------------------------------------------（16分）

（另解：对于，设，则，一条渐近线方程为，显然满足条件的点列中任两点连线不与直线，故斜率不为1.）
文科评分标准：
（２）------------------------------（6分）
则 ---------------------------------------（8分）
． ------------------------------------------（10分）
（3）＝．
----------------------------------------------（16分）
22.解
（1）由条件得，得：；----------------（4分）
（2）理科评分标准：
“伸缩变换”，对作变换，
得到， ----------------------------------------（5分）
解方程组得点A的坐标为；-------------------（7分）
解方程组得点B的坐标为；-------------------（8分）
＝＝，---------------（10分）
化简后得，解得，--------------------------(11分)
因此椭圆的方程为或．-------------------------（12分）
（漏写一个方程扣1分）

文科评分标准：
，由伸缩变换得，则，令16,则．
------------------------------（10分）
（3）理科评分标准：
对：作变换
得抛物线：得，
又，即， ---------------------（14分）
＝,
则， --------------------------------------（16分）
（另解：）
，． -------------------------------------------（18分）

文科评分标准：
“伸缩变换”，对作变换，
得到， --------------------------------------------（12分）
解方程组得点A的坐标为--------------------（14分）
解方程组得点B的坐标为 ------------------（15分）
＝＝，---------------（17分）
化简后得，解得，
因此椭圆的方程为或．-------------------------（18分）
（漏写一个方程扣1分）