绵阳市2015一诊数学(文)试卷含答案.doc

绵阳市高2012级第一次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
BBDDC BACCA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：(Ⅰ)2m·n-1
=． ……………………………6分
由题意知：，即，解得．…………………………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
∵ ≤x≤，得≤≤，
又函数y=sinx在[，]上是减函数，
∴ ……………………………………10分

 =．…………………………………………………………12分
17．解：(Ⅰ) 由题知解得，即．……………………3分
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为．……4分
① 若≥2，即m≤-2时， g (x)在上单调递减，不存在最小值；
②若，即时， g (x)在上单调递减，上递增，此时，此时值不存在；
③≤1即m≥-1时， g (x)在上单调递增，
此时，解得m=1． …………………………11分
综上：． …………………………………………………………………12分
18．解：(Ⅰ) ，，
又，所以，
∴． ………………6分
B
C
D
A
E
(Ⅱ) 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，
则，BE=2BD=7，CE=AB=5，
在△BCE中，由余弦定理：．
即，
解得：． ………………………………………………………………10分
19．解：(Ⅰ) 由，
得：解得：．
∴ ，． …………………………………5分
(Ⅱ) 由题知． ………………………………………………6分
若使为单调递增数列，
则
=对一切n∈N*恒成立，
即： 对一切n∈N*恒成立， ………………………………… 10分
又是单调递减的,
∴ 当时，=-3，
∴ ． …………………………………………………………………12分
20．(Ⅰ)证明： 由，得．…………………………1分
由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x<lna，
∴ 在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数，
于是在取得最小值．
又∵ 函数恰有一个零点，则， ………………… 4分
即．………………………………………………………… 5分
化简得：，
∴ ． ………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，在取得最小值，
由题意得≥0，即≥0，……………………………………8分
令，则，
由可得0<a<1，由可得a>1．
∴ 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即，
∴ 当0<a<1或a>1时，h(a)<0，
∴ 要使得≥0对任意x∈R恒成立，
∴的取值集合为……………………………13分
21．解：(Ⅰ) 时，，，
∴，，…………………………………………………2分
故点()处的切线方程是．……………………3分
(Ⅱ)由，得．
(1)当时，．
①若b≤0，
由知恒成立，即函数的单调递增区间是．
………………………………………………5分
②若，
当时，；当时，．
即函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+∞)．
……………………………………………7分
(2) 当时，，得，
由得．
显然，，
当时，，函数的单调递增，
当时，，函数的单调递减，
所以函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+∞)．………………………………………………………………9分
综上所述：
当a=0，b≤0时，函数的单调递增区间是；
当a=0，b>0时，函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+∞)；
当时，函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+∞)． ……………………………………………………………10分
(Ⅲ)由题意知函数在处取得最大值．
由(II)知，是的唯一的极大值点，
故=2，整理得．
于是
令，则．
令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．
因此对任意，≤，又，
故，即，即，
∴ ．……………………………………………………………14分

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