函数的单调性与导数-PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.3.1,函数的单调性与导数,1,函数,y=f(x),在给定区间,G,上，当,x,1,、,x,2,G,且,x,1,x,2,时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b,1,）都有,f(x,1,),f(x,2,),，,则,f(x),在,G,上是增函数,；,2,）都有,f(x,1,),f(x,2,),，,则,f(x),在,G,上是减函数；,若,f(x),在,G,上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则,f(x),在,G,上具有严格的单调性。,G,称为单调区间,G=(a,b),一、复习引入,:,2,单调性的概念：,对于给定区间上的函数,f(x):,1.,如果对于这个区间上的任意两个自变量,x,1,x,2,当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,)f(x,2,),那么就说,f(x),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于这个区间上的任意两个自变量,x,1,x,2,当,x,1,f(x,2,),那么就说,f(x),在这个区间上是,减函数,对于函数,y,f(x),在某个区间上单调,递增,或单调,递减,的,性质,，叫做,f(x),在这个区间上的,单调性,，这个,区间,叫做,f(x),的,单调区间,。,3,(1),函数的单调性也叫函数的增减性；,(2),函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概,念。这个区间是定义域的子集。,(3),单调区间：针对自变量,x,而言的。,若函数在此区间上是增函数，则为单调递增,区,间；,若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,以前,我们用定义来判断函数的单调性,.,在假设,x,1,x,2,的前提下,比较,f(x,1,)0,，则,f,（,x,）是增函数。,如果恒有,f(x)0,，则,f,（,x,）是减函数。,如果恒有,f(x)=0,，则,f,（,x,）是常函数。,10,例,1,已知导函数 的下列信息,:,当,1,x,4,或,x,1,时,当,x,=4,或,x,=1,时,试画出函数 的图象的大致形状,.,解,:,当,1,x,4,或,x,0(,或,f(x)1,，即,a,2,时，,f,(,x,),在,(,，,1),和,(,a,1,，,),上单调递增，在,(1,，,a,1),上单调递减，由题意知：,(1,4),(1,，,a,1),且,(6,，,),(,a,1,，,),，,所以,4,a,1,6,，即,5,a,7.,21,解法二：,(,数形结合,),如图所示，,f,(,x,),(,x,1),x,(,a,1),若在,(1,4),内,f,(,x,),0,，,(6,，,),内,f,(,x,),0,，且,f,(,x,),0,有一根为,1,，则另一根在,4,6,上,22,解法三：,(,转化为不等式的恒成立问题,),f,(,x,),x,2,ax,a,1.,因为,f,(,x,),在,(1,4),内单调递减，所以,f,(,x,),0,在,(1,4),上恒成立即,a,(,x,1),x,2,1,在,(1,4),上恒成立，所以,a,x,1,，因为,2,x,17,，所以,a,7,时，,f,(,x,),0,在,(6,，,),上恒成立由题意知,5,a,7.,点评,本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想,23,解：由已知得,因为函数在（,0,，,1,上单调递增,变式,24,本题用到一个重要的转化：,25,练习,1,0,a,4,26,在某个区间上，,f,（,x,）在这个区间上单调递增,（递减）；但由,f,（,x,）在这个区间上单调递增（递减）而仅,仅得到 是不够的。还有可能导数等于,0,也能使,f,（,x,）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要,单独验证。,总结,27,补例：方程根的问题,求证：方程 只有一个根。,28,已知：,x,0,，求证：,x,sin,x,.,解析,设,f,(,x,),x,sin,x,(,x,0),f,(,x,),1,cos,x,0,对,x,(0,，,),恒成立,函数,f,(,x,),x,sin,x,在,(0,，,),上是单调增函数,又,f,(0),0,f,(,x,),0,对,x,(0,，,),恒成立,即：,x,sin,x,(,x,0),补例：不等式证明问题,29,补充练习,:1,、判断下列函数的单调性,(1)f(x)=x,3,+3x;,(2)f(x)=sinx-x,x(0,);,(3)f(x)=2x,3,+3x,2,-24x+1;,(4)f(x)=e,x,-x;,2,、已知函数,f(x)=ax+3x-x+1,在,R,上是减函数，求,a,的取值范围。,30,小结,：,定理：,一般地，函数,y,f,（,x,）在某个区间内可导：,如果恒有,，则,f(x),在是增函数。,如果恒有,，则,f(x),是减函数。,如果恒有,，则,f(x),是常数。,步骤：,（,1,）求函数的定义域,（,2,）求函数的导数,（,3,）令,f,(x)0,以及,f,(x)0,f,(x)0,f,(x),0,31,