导数应用题.doc

高二（文科）导数应用题
例题：
时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式y=mx−2+4(x−6)2，其中2<x<6，m为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.
（1）求m的值；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）
试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出m=10；（2）先建立利润函数模型f(x)=(x−2)[10x−2+4(x−6)2]=10+4(x−6)2(x−2)=4x3−56x2+240x−278(2<x<6)，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.
试题解析：（1）因为x=4时，y=21，
代入关系式y=mx−2+4(x−6)2，得m2+16=21， 2分
解得m=10. 4分
（2）由（1）可知，套题每日的销售量y=10x−2+4(x−6)2， 6分
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)=(x−2)[10x−2+4(x−6)2]=10+4(x−6)2(x−2)=4x3−56x2+240x−278(2<x<6)从而f'(x)=12x2−112x+240=4(3x−10)(x−6)(2<x<6). 8分
令f'(x)=0，得x=103,且在(2,103)上,，函数单调递增；在(103,6)上，，函数单调递减， 10分
所以x=103是函数在(2,6)内的极大值点，也是最大值点， 11分
所以当x=103≈3.3时，函数取得最大值. 12分
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.
考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用
练习题
一、单选题
1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2．现有一段长为的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）
A. B. C. D.

二、填空题
3．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒20cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________cm ．

4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．

三、解答题
5．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 (升）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.

6．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；
(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．

7．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x－5 000(单位：万元)．
(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

8．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.
（1）求k的值；
（2）求该汽车每小时油耗的最小值．

9．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： ）满足关系，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值.

10．现有一张长为，宽为（）的长方形铁皮，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角上剪下一块边长为的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为，体积为.
（Ⅰ）求关于的函数关系式；
（Ⅱ）求该铁皮容器体积的最大值.

试卷第5页，总6页

高二（文科）导数应用题参考答案
1．B
【解析】设圆柱的底面半径为r,则高，
则圆柱的表面积.
当且仅当，即r=4时，取等号。
∴要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为4.本题选择B选项.
2．A
【解析】试题分析:
设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是米，
则该长方体的体积 ，
由V′(x)=0，得到x=1，
且当0<x<1时，V′(x)>0；
当 时，V′(x)<0，
即体积函数V(x)在x=1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x)在定义域上的最大值。
所以该长方体体积最大值时，x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m.
故选A.
3．4
【解析】设原来神针的长度为acm，t秒时神针体积为Vt，则Vt=π(12-t)2∙(a+20t)，其中0≤t≤8。所以V't=[-212-ta+20t+(12-t)2∙20]π.因为当底面半径为10cm时其体积最大，所以10=12-t，解得t=2，此时V'2=0，解得a=60，所以Vt=π(12-t)2∙(60+20t)，其中0≤t≤8，V't=60π12-t(2-t)，当t∈(0,2)时，V't>0，当t∈(2,8)时，V't<0，从而Vt在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减，V0=8640π，V8=3520π，所以当t=8时，Vt有最小值3520π，此时金箍棒的底面半径为4cm.
4．45.6
【解析】设该公司在甲地销x辆，那么乙地销15－x辆，利润L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且当x＜10.2时，L′(x)＞0，x＞10.2时，L′(x)＜0，∴x＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元． 答案：45.6万元
5．（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），
∴总用氧量.
（2），令得，
在时， ，在时， ，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴此时， 时总用氧量最少.
6．试题解析：解：(1)设日销售量为s，则s＝，
因为x＝40时，s＝10，
故10＝，则k＝10e40，
所以s＝，
故y＝10e40ex (x－30－m)(35≤x≤41)．
(2)由(1)知y′＝10e40·＝10e40·.
令y′＝10e40·＝0，则x＝31＋m.
当2≤m≤3时，y′<0，所以y在35≤x≤41上为减函数，
所以x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5－m)元．
7．试题解析：
解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)
＝－10x3＋45x2＋3 700x－(460x－5 000)
＝－10x3＋45x2＋3 240x＋5 000(x∈N*，且1≤x≤20)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240
＝－30(x－12)(x＋9)，
由P′(x)＝0，得x＝12，x＝－9(舍去)．
当0<x<12时，P′(x)>0，P(x)单调递增；
当x>12时，P′(x)<0，P(x)单调递减．
∴当x＝12时，P(x)取得极大值，也为最大值．
∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
8．试题解析：（1）由题意，当x＝120时， ＝11.5，
∴ k＝100.
（2）该汽车每小时的油耗为y L，则
y＝ (60≤x≤120)．
求导知，函数在区间上单调递增
答： 升．
9．试题解析：（1）当时， ，∴.
由题意知， ，即.
（2）∵
∴，令，即，
∴.
当时， ，当时， ，
当时， 取得最小值.
.
所以，当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.
10．试题解析:（（Ⅰ）由题意得，
即（）.
（Ⅱ）铁皮容器体积 （）.
，
当时，即，在上， 恒成立，函数单调递增，
此时；
当，即，在上， ，函数单调递增，在上， ，函数单调递减，此时.
所以
答案第5页，总5页