证明三角形不等式初探.pdf

2222222-有7-272023年第7 期数学教学证明三角形不等式初探周秋斓李建潮？（1.浙江省湖州市滨湖高级中学，浙江湖州313000;2.浙江省湖州市南浔高级中学，浙江湖州313009)文1 利用经典代数不等式：已知，y，z是正数,证明：Z3.（*）十y+xx+y2给出了证明三角形不等式的一种方法，也不失是一种好方法，共涉12 个例题，今着重以其前10例为例议证明三角形不等式，旨在抛砖引玉，敬请批评.1“余切化”证明三角形不等式在ABC中，成立着以下三角形恒等式：cot Bcot C+cot Ccot A+cot Acot B=1,必要时请注意以下变式：(cotC+cotA)(cotA+cotB)=1+cotA,(cotA+cotB)(cotB+cot C)=1+cotB,(cotB+cot C)(cot C+cotA)=1+cotC.0上,所以1+k=0,解得k=-1,所以直线l的方程为2 x+2y-3=0.例3已知曲线C的方程为y=2px(p0），斜率为2 的直线I与曲线C交于A、B两点，且AB的中点纵坐标为一，则曲线C的方3程为解：由结论2 易知AB的中点所在的直线方程为y=，即=卫，,所以P2所以曲线k323如若所证三角形不等式有条件化归为“余切型”，那么，通过基本（或重要）代数不等式并有机结合三角形恒等式,往往能使所证三角形不等式瓜熟蒂落.例1(文1 例6)在锐角ABC中,求证：sin BsinCsin Csin AsinAsin B9十十cos(B-C)cos(C-A)cos(A-B)4证明：化“余切型”，并注意到三角形恒等式及三维柯西（Cauchy）不等式：(ai+a2+a)(bi+b2+bs)(ajb+azb2+a,b,),式的左边sinBsinCsinCsinAcosBcosC+sinBsinCcos CcosA+sin CsinAsinAsinB+cosAcosB+sinAsinB111十cot Bcot C+1cot CcotA+1cot Acot B+14C 的方程为y=一一x.33结语我们在用教材的习题进行教学时，不应该仅满足对问题本身的解答，而应对它们进行一些深入的探究，发现多种解法或对原题作一些拓展探究，由特殊到一般，得到结论的一般形式,从而，让学生触类旁通，会做一题到会做一类题,以提高课堂效率.87-282023年第7 期数学教学(cot Bcot C+1)+(cotCcotA+1)41+(cotAcotB+1)1:cot Bcot C+111+cot CcotA+1cotAcotB+19(1+1+1)244式获证.例2（文1 例9)在ABC中,求证：3cosA+cosB+cosC 4证明：问题的核心自然是将cos“余切coscot化.事实上,cos=sin+cos1+cot2于是，结合应用三维柯西不等式，并注意到三角形恒等式，有式左边cotAcotBcotC+1+cotA1+cotB3*1+cotC(cotA+cotB+cot C)2(1+cotA)+(1+cotB)+(1+cotC)cotA+cotB+cotC+2(cot Bcot C+cot CcotA+cot Acot B)3+cot?A+cot?B+cot?CcotA+cotB+cotC+23+cotA+cotB+cotC1=13+cotA+cotB+cotC11-3+cotBcot C+cot CcotA+cot AcotB13三13+1-4式得证.2“连锁”证明三角形不等式首先，对于例1，注意到三角形恒等式：cos(-)=coscos+sinsin和式,“连锁”可得的是其反向不等式：例33（文1例5）在锐角ABC中，求证：cos Bcos Ccos Ccos Acos Acos B3cos(B-C)cos(C-A)cos(A-B)4其次，由和可得：sinBsinC-cosBcosCsin CsinA-cos Ccos Acos(B-C)cos(C-A)sinAsin B-cos Acos B933+cos(A-B)442显然，上面不等式就是：例4（文1例4）在锐角ABC中，求证：cos Acos Bcos C3cos(B-C)cos(C-A)cos(A-B)2再则,对于例2,与之“连锁 的三角形不等式是：例5（文1 例7 在锐角ABC中，求证：cos Bcos Ccos Ccos Acos Acos B3cos Acos Bcos C2证明：应用代数不等式：（+y+z）3（y z+z+xy），并注意到例2（即式），有式的左边cos Bcos Ccos CcosAcosAcos B)2十cos Acos BcosCcosCcosAcosAcosBcosAcos Bcos BcosC cos BcosCcosCcosAcos BcosCcosCcosAcOsAcos B3=/3(cosA+cos*B+cosC)3X432有意思的还有，当角A、B、C为（任意）ABA BC的三个内角时，关于它们的半角22CTATBTC居然满足为某锐12222222角三角形的三个内角.于是，在以上五例中作ATB三角形代换：（A,B,C)TT2222TT，则是与之分别对应的以下五个关于22三角形的半角不等式：证法2：在（锐角）ABC中，有，有看有何反响？利用优化后的（*）式，不妨再来证明例7-292023年第7 期数学教学例6(文1例2)在ABC中,求证：BCCAABsinsinsinsinsinsin2222229B-CC-AA-B4coscoscoS222例7(文1例10)在ABC中,求证：ABC322+2sinsin2sin2242例8(文1例3)在ABC中,求证：BCCAABsinsinsinsinsin2222223BCC一AA-B4coSCOScoS222例9(文1例1)在ABC中,求证:ABCsinsinsin2223BCC-AAB2一一coscoscos222例10(文1例8)在ABC中,求证：BCCAABsinsinsinsinsinsin2222223ABC2sinsinsin2223优化经典证明三角形不等式笔者注意到（198 3年瑞士数学竞赛试题）（见文2）:已知a，b，c 0,求证：(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)abc.该赛题可以优化文首经典奥赛题（*）.事实上，以上赛题可等价变形为：a6C6+C+a+ba6C6+cc+aa+ba6C6台1b+cc+aa+bc+aCCa十a+ba+bb+ca6a6C十b+cc+a6+cc+aa+ba6Ca6C+b+cc+aa+bb+cc+aa+bbc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)1+(b+c)(c+a)(a+b)2abc(b+c)(c+a)(a+b)a6C+b+c+c+aa+bbc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)+2abc1+(b+c)(c+a)(a+b)4abc(b+c)(c+a)(a+b)注意到代数恒等式：（b+c)（c+)（+b）=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)+2abc,知以上最后一个不等式即为：已知a,b,c 0,则有a6C+b+cc+aa+b4abc2(b+c)(c+a)(a+b)(*)*）式就是经典奥赛题（*）的优化cot Bcot C+cot CcotA+cotAcotB=1,(cot BcotC O,cotCcotA O,cotAcotB O)是式的左边cos Bcos Ccos Ccos Acos Acos B-cos(B+C)-cos(C+A)-cos(A+B)cos Bcos Ccos Ccos A+sin Bsin C-cos Bcos Csin CsinA-cos Ccos Acos Acos B+sinAsinB-cosAcosB7-302023年第7 期数学教学cot Bcot CcotCcotAcotAcot B1-cot Bcot C1-cot Ccot AA+1-cotAcot Bcot Bcot Ccot CcotA+cot CcotA+cotAcot BcotAcotB+cot Bcot CcotAcot B+cotBcotC+cot CcotA4cotBcotCcotCcotAcotAcotB2(cot Ccot A+cot Acot B)(cot Acot B+cot Bcot C)(cot Bcot C+cot CcotA)4cotAcotBcotC=2-(cot B+cot C)(cot C+cot A)(cotA+cot B)cos A,cos Bcos C4sinAsin B3sinC=2sin(B+C),sin(C+A),sin(A+B)sinBsinCwsinCsinAsinAsinB=2-4cos Acos Bcos C=2(1-2cos Acos Bcos C).而以上最后一个式子恰好与ABC中的恒等式:cosA+cos*B+cos?C+2cos Acos Bcos C=1 相吻合,即 1 2 cos Acos Bcos C=cos?A+cos?B+cosC.结合例2,知例5 的式成立.由此看来，不经意间我们还得到了例5 的以下改进：例5在锐角ABC中,求证：cos Bcos Ccos CcosAcos Acos B一cos Acos BcosC 2(cosA+cosB+cosC).如若对式作三角形代换：（A，B，C）TATBTC，自然又将例10222222改进为：例10在ABC中,求证：BCCAABsinsinsinsinsinsin222222十ABCsinsinsin222ABC22sin十sinsin222?不难看出，例5 与例10 的收获是情理之中的，但是我们意料之外的.4“余切化”灵活的应用相信众多读者已经看到前面的例2 和与之对应的例7 有如下一个“衔接”（在ABC中）：ABcosA+cosB+cosC sin?2十sin+22Csin162ABC1-2cos Acos Bcos C 1-2sinsin2sin22ABCcosAcosBcos Csinsinsin222受余切化”（证明三角形不等式)之影响，自然而然形成了较式更为深人的如下两个三角形不等式：例11在ABC中,求证：ABCcos Acos Bcos C 8sin2sinsin222178cos Acos Bcos Csin?AsinBsin?C.27A分析：由S2公式及三角形不等式cos12BC3./38cos易知sinAsinBsinC22827ABC8sinsinsin可见，式要强于式.222故而下面只需证明式成立即可.证明：如若ABC为直角或钝角三角形，则不等式显然成立；如若ABC为锐角三角形，注意到在A BC中,cosA=-cos(B+C)=sinBsin C-cosBcosC,则式等价于：sin BsinC-cos Bcos C sin CsinA-cos CcosAsin BsinCsinCsinAsin Asin B-cos Acos B8(1-cot Bcot C)sinAsinB278(1-cot CcotA)(1-cotAcot B)27应用算术一几何均值不等式及三角形恒等式,有推得0 0),易得0 式的左边xyz+zx+xyxyz+xy+yzxyz+yz+zxZYZZxZ为“放大”式右边的需要，将四维算术一几何均值不等式用于式，易得4=yz+zx+xy+xyz4yzzxxyxyz=4(xyz)进而，式右边根号下的分母：(2x+1)(2y+1)(2z+1)=(+1)(y+y+1)(z+z+1)3/.1.3/.1.3/2.1=27(xyz)27xyz.2故而，式的右边放缩成：(x+2)(y+2)(z+2)20式的右边：xyz结合式与式，欲证不等式成立，只需证如下不等式成立即可：yzZxXyZ+2+2+2VZ下面实施对式的三角换元，对题设施行变形：22（+(22+2(/)(/)(/am)=1,4coscOScoS可知4式亦即为：AB+4sinAn=及sinA+sinB+sinCSinAB4sinA+sinB+sin(tanAtanBtancosA+cosB+cosC247-322023年第7 期数学教学联想到ABC中的三角形恒等式：cosA+cosB+cosC+2cos Acos Bcos C=1,可知，存在锐角ABC，使得1yz=cosA,21zx=cos B,21xy=cos C,22cos Bcos Ccos A2cos Ccos AYcos B2cos Acos BZcos C于是，式的左边/4-4cosA/4-4cosB4-4cos?C2cos Bcos C2cos Ccos A2cos Acos BcosAcos Bcos CsinAcos A.sinBcosBsin Ccos Ccos Bcos Ccos CcosAcos Acos BsinA-cos(B+C),ssin B-cos(C+A)二十cos Bcos Ccos Ccos Asin C-cos(A+B)十cos Acos B=sinA(tan Btan C-1)+sin B(tan CtanA-1)+sinC(tanAtanB-1)=(sin Atan Btan C+sin Btan Ctan A+sin CtanAtan B)-(sinA+sinB+sin C)=tan Atan Btan C(cos A+cos B+cos C)-(sinA+sinB+sinC).式的右边2221+11+Zcos Acos B11+cos Bcos C1cos Ccos Acos C1+cos Acos B=/1+(tanBtanC-1)V1+(tan CtanA-1):V1+(tanAtanB-1)=tan Atan Btan C.所以，不等式三角换元后即为：tan Atan Btan C(cos A+cos B+cos C)-(sinA+sinB+sinC)Atan Btan结合三角形恒等式：cosA+cosB+cosC=ABCtanAtan Btan C.4sinsinsin222ABC4coscoscoScotAcotBcot C222ABCtantantan（A BC为锐角三角形）222以上最后一个不等式即为注1的不等式，故而成立。所以，不等式成立，即不等式成立，故而更有不等式成立.例12 得证从例12 的证明看出，这道赛题宜改进为：对任意满足yz+zx+xy+xyz=4的正实数x、y、z,求证:y+z+yzz+x+zxx+y+xy+VZ(x+2)(y+2)(z+2)25xyz参考文献1姜坤崇.用一个代数不等式证明若干三角形不等式J.数学通讯（上半月），2 0 2 1(4):53-56.2 李建潮.2 0 14年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究J.中学数学,2 0 15(3):60-61.3李建潮.一个数学问题的“热能”效应J.数学通报,2 0 0 8，47(6):5 1,5 3.【4高国圣.减元探思路变式提效能J.数学通讯（下半月）,2 0 2 2（3）：6 0 6 3.