自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复习：,凑微分,部分常用的凑微分,:,(3),(4),(5),(6),(7),常见凑微分公式,常见凑微分公式,常见凑微分公式,完,高 等 数 学,4.2 换元积分法,第一类换元法,(,凑微分法,),问题,?,观察,从公式,令,则有,解法,可将微分,凑成,的形式,即,第一类换元法,(,凑微分法,),第一类换元法,(,凑微分法,),一般地,设,具有原函数,即,则,回代,第一类换元公式（,凑微分法,）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,定理,1,例,1,解,求不定积分,利用凑微分公式,所以,完,换元,回代,例,2,解,求不定积分,换元,回代,注,:,一般情形,:,完,例,3,解,计算不定积分,换元,回代,注,:,一般情形,:,完,例,4,解,计算不定积分,注,:,对变量代换比较熟练后,可省去书写中间变量,的换元和回代过程,.,完,例,5,解,求不定积分,换元,回代,注,:,一般情形,:,例,6,求下列不定积分,解,例,6,求下列不定积分,解,例,6,求下列不定积分,解,注,:,一般情形,:,完,例,7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,例,7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,例,7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,完,例,8,求下列不定积分,(1),解,例,8,求下列不定积分,解,例,8,求下列不定积分,解,注,:,一般情形,:,完,例,9,解法一,求不定积分,原式,解法二,原式,解法三,原式,注,:,一般情形,:,完,例,10,求下列不定积分,解,(2),原式,例,10,求下列不定积分,解,(2),原式,例,10,求下列不定积分,解,(2),原式,注,:,当被积函数是三角函数的乘积时,项去凑微分,.,折开奇次,完,例,11,求下列不定积分,解,例,11,求下列不定积分,解,例,11,求下列不定积分,解,例,11,求下列不定积分,解,例,11,求下列不定积分,解,完,例,12,解,计算不定积分,由于,所以,例,12,解,计算不定积分,例,12,解,完,计算不定积分,例,13,解,求不定积分,原式,注,:,利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计,算的常用手段之一,.,完,例,14,求下列不定积分,解,例,14,求下列不定积分,解,例,14,求下列不定积分,解,例,14,求下列不定积分,解,例,14,求下列不定积分,解,完,例,15,求下列不定积分,解,例,15,求下列不定积分,解,例,15,求下列不定积分,解,完,例,16,解法一,试用换元法求不定积分,解法二,原式,原式,完,例,17,解,求,完,例,18,用换元法求不定积分,解,原式,完,例,19,试用换元法求不定积分,解,原式,完,例,20,解,试用换元法求不定积分,利用例,12,的结果,:,得,完,例,21,解,求不定积分,所以,因为,原式,完,例,22,求不定积分,解,因为,它与被积函数分母相同,所以,原式,完,内容小结,1.,第一类换元法,（凑微分法）,设,具有原函数,可导，,则有换元公式,公式应用关键,:,2.,化为,将,常见的凑微分方式,积分类型,换元公式,第一类换元积分法,第一类换元积分法,利用积化和差,公式进行变换,用公式,进行变换,化为倍角的三角函,数降幂后再积分,1.,求下列不定积分,2.,设,求,课堂练习,完,1.,求下列不定积分,解,(1),原式,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,(2),解一,原式,1.,求下列不定积分,解,(2),1.,求下列不定积分,解,(2),解二,原式,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,1.,求下列不定积分,解,(4),令,则,于是,原式,完,2.,设,求,解,令,则,从而,完,