圆的综合复习.doc

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3
学员姓名：范诗源 辅导科目：数学 学科教师：季益鸣
授课类型
T(同步知识主题)
C （专题方法主题）
T （学法与能力主题）
授课日期及时段
2013.12.15
教学内容

一、同步知识梳理
知识点1： 圆的有关概念
（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。
（2） 弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。
（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）
（4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
（5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。
（6）
【常作辅助线1】连接圆心和圆上的点，形成半径。

知识点2：圆的有关性质
（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。
(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。
(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半；②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。
【常作辅助线3】利用直径，构造直角。

知识点3：与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r ,点到圆心的距离为d
①点在圆内②点在圆上内③点在圆外
（2）直线与圆的位置关系圆的半径为r ,直线到圆的距离为d
①直线与圆相交点在圆内②直线与圆相切点在圆内③直线与圆相离点在圆内
（1）圆与圆的位置关系①两圆外离②两圆外切③两圆相交④两圆内切⑤两圆内含
（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。
（4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。（补充）
（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。（补充）
（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。
【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。
【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。
【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。
知识点4 圆中的计算
（1）弧长公式：
（2）扇形面积： 或
（3）圆锥的侧面积：（ｒ指底面圆的半径，l指母线长）

题型1：圆的有关概念
1．（2006·玉林市、防城港市）如图1，四边形是扇形的内接矩形，顶点在 Error! No bookmark name given.上，且不与重合，当点在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（　　　　）
Ａ．变大 Ｂ．变小 　Ｃ．不变 　　Ｄ．不能确定
Ｂ
Ｎ
Ｐ
Ｍ
Ａ
Ｏ
图1
图3

A
B
C
D
O
图2

2．（2010江苏扬州）如图2，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__________．

3．如图AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD的延长线交于点E ，且AB＝2DE，∠E＝18°，求
∠AOC的度数。

题型2：圆的有关性质
4.（2008白银）高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（　　）
A．5 　　 B．7 　　 C． 　　　 D．

图7
图8
图4

O
D
A
B
C
Ｏ
Ａ
Ｂ
图5
图6
A
C
D
O
B

5.（2007连云港）如图5，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A． 　B． C． D．
6. 已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．
7.（2008黄石）如图6，为⊙O的直径，点在⊙O上，，则 ．
8. （2010湖北黄石）如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝ .
9.（2010 黄冈）如图8，⊙O中，的度数为320°，则圆周角∠MAN＝___________

图9
10. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：∠BAE=∠CAD
图10
M
HM

11．(2009年温州)如图10，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与⊙0相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是
题型3：与圆有关的位置关系
12．（2006·邵阳市）已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能
13．（2010 山东淄博）如图11，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有（ ）
A．①②　　B.①③④　　C.②③④　　D.①②③④
图13
A

B
C
D
E
F
图12

O

O
D
C
B
A
图11

14．（2009仙桃）如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．
(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．

15． 如图13，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？

图14
16． 已知如图14，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，点E为垂足，CE的延长线交AB于点F。求证：

图15
17．如图15，△ABC中， I为内心，AI交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE，试说明：BE=EC=IE。

18．（2010湖南长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）．
A、2 B、4 C、6 D、8
图16

题型4：圆中的计算
19．（2006·宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是（ ）
A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r
20．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______． (结果保留)
图17
21.（2010浙江宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积.

三、课堂达标检测
一、精心选一选(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)
1、下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
3、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B.70° C．110° D.140°

4、如图2，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值
范围（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
5、如图3，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E等于（ ）
A．42 ° B．28° C．21° D．20°
A
B
C
D
E
图4
B
A
M
O
·

　图1 图 2 图3

6、如图4，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是（ ）
A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm
图5
7、如图5，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.

8、已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R＝2，⊙O2的半径r＝1，
若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙C有（ ）
A、2个 B、4个 C、5个 D、6个
9、设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程有实数根，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A、相离或相切 B、相切或相交 C、相离或相交 D、无法确定
A
A1
A2
B
C
C2
B1
图6
l
10、如图6,把直角△ABC的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )
A、（ +）π B、（ +）π
C、2π D、π

二、细心填一填(本大题共6小题，每小4分，共计24分)．
11、（2006山西）某圆柱形网球筒，其底面直径是100cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________的包装膜（不计接缝，π取3）．
12、（2006山西）如图7，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点。有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.
13、如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为 .
14、如图8，已知：在⊙O中弦AB、CD交于点M、AC、DB的延长线交于点N，则图中相似三角形有________对．
15、（2006年北京）如图9，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 .
16、（原创）如图10,两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分,相对的两部分面积之和分别记为S、S,若圆心到两弦的距离分别为2和3,则︱S-S︱= .
A
B
C
D
M
N
O

图8 图9 图10
三、认真算一算、答一答(１７～２3题，每题８分，２４题10分，共计66分).

AC
BC
AB
r
L
S
图甲

0.6

图乙

1.0

17、（2006年丽水）为了探究三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系,在数学实验活动中,选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长,填入空格处,并计算出周长L和面积S.(结果精确到0.1厘米)

(2)观察图形,利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r与L、S之间关系,并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立?

图甲 图乙 图丙

A
B
C
O
G
E
D
18、（2006年成都）如图，以等腰三角形的一腰为直径的⊙O交于点，交于点，连结，并过点作，垂足为．根据以上条件写出三个正确结论（除外）是：
（1）　　　　　　　　；（2）　　　　　　　　；
（3）　　　　　　　　．
19、（2004年黄冈）如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面。问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？

20、（2005年山西）如图是一纸杯,它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量,纸杯上开口圆的直径是6cm,下底面直径为4cm,母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用π表示) ．

21、如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．

22、（2006年黄冈）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．
A
B
C
P
E
D
H
F
O
（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；
（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？

24、（2004年深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线

y

Ｏ′
·
O
C
B
A
E
D
F
x
BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

[参考答案]

一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B
二、填空题
11．12000 12．第二种 13．6cm 14．4 15．(2,0) 16．24(提示:如图1,由圆的对称性可知, ︱S-S︱等于e的面积,即为2×3×4=24)
三、解答题
17．(1)略 (2)由图表信息猜测,得S=Lr,并且对一般三角形都成立.连接OA、OB、OC,运用面积法证明．
18．（1），（2），（3）是的切线（以及∠BAD=∠BAD，AD⊥BC，弧BD=弧DG等）．
19．设计方案如图2所示，在图3中，易证四边形OAOC为正方形，OO+OB=25，所以圆形凳面的最大直径为25（-1）厘米

图1 图2 图3
20．扇形OAB的圆心角为45°,纸杯的表面积为44π.
21．连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.由题意知△ACP是直角三角形,又Q是AC的中点,因此QP=QC, ∠QPC=∠QCP.而∠OCP+∠QCP=90,所以∠OPC+∠QPC=90即OP⊥PQ,PQ与⊙O相切.
22．（1）略 （2）当点D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF．
23．变化一、连接OQ，证明OQ⊥QR；
变化二 （1）、结论成立 （2）结论成立，连接OQ，证明∠B=∠OQB，则∠P=∠PQR，所以RQ=PR （3）结论仍然成立
24．（1）在矩形OABC中，设OC=x 则OA= x+2，依题意得
解得：
（不合题意，舍去） ∴OC=3， OA=5
（2）连结O′D 在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=
∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2
在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3
∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE， ∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线．
(3) 不同意. 理由如下:
①当AO=AP时，
以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点
过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H = OC = 3，∵A P1= OA = 5
∴A H = 4， ∴OH =1
求得点P1（1，3） 同理可得：P4（9，3）
②当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）
因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．

课后作业

1.如图，在中，斜边，为的中点，的外接圆与交于点，过作的切线交的延长线于点．
A
E
F
O
D
B
C

（1）求证：；
（2）计算：的值．

2．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB = 8，CD = 6，
MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的
任意一点，则PA+PC的最小值为 .

3．如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分∠BAC .
求证：AC⊥BC .

4.(1)已知，如图l，△ABC的周长为,面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：；
(2)已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A(一3，O)、B(3，0)、C(0，4)．若△ABC内心为D。求点D坐标；
(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标。

5．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，以 为一边作正方形，再以为直径的半圆．设轴交半圆于点，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）连接，试判断直线与⊙的位置关系，并说明你的理由；
（3）直线上是否存在着点，使得以为圆心、为半径的圆，既与轴相切又与⊙外切？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由．

6.如图，在直角梯形ABCD中，，，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．
（1）说明点D在△ABE的外接圆上；
（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．

7．我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．
(1)判断直线y＝x＋与正方形OABC是否相交，并说明理由；
C
B
O
A
x
y
(2)设d是点O到直线y＝－x＋b的距离，若直线y＝－x＋b与正方形OABC相交，求d的取值范围．

8、如图，点在的直径的延长线上，点在上，，，
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，求弧BC的长．（结果保留）
A
O
B
D
C

9、已知：如图，直径为的与轴交于点点把分为三等份，连接并延长交轴于点
（1）求证：；
（2）若直线：把的面积分为二等份，求证：
y
x
C
B
A
M
O
4
2
1
3