高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法.doc

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。
方法二：任何一个的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是的一次方程。 ，称为平面的一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积为一长度等于，（θ为,两者交角，且），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向,。
（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。）
图1-1
C1
C
B
y
F
A
D
x
A1
D1
z
B1
E
例1、 已知，，
试求（1）：（2）：
Key: (1) ;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中，

求平面AEF的一个法向量。

图2-1-1
α

B

A
C

A
B
α
图2-1-2

C

二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，
AB是平面的一条斜线，，则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:

β
α

图2-2

(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：

α
图2-3

β
（图2-2）;
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。
图2-4
n
a
b
A
B
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，
求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；
③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
图2-5

A
α
M
B
N
O
,其中

（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
A
a
B
α

图2-6
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P到
平面α的距离公式为
（3）、直线与平面间的距离:
图2-7
α
β
A
B

方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：
，其中。是平面的法向量

（4）、平面与平面间的距离:
图2-8
α
a

方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：
图2-9
α

a

，其中。是平面、的法向量。
3、 证明
图2-10
β
α

（1）、证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直
线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。
图2-11
α

β

（3）、证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平
面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）
（4）、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。
三、高考真题新解
图3-1
C
D
M
A
P
B
1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
，，设平面PAD的法向量为
，，设平面PCD的法向量为
，，即平面PAD平面PCD。
，，
，，设平在AMC的法向量为.
又,设平面PCD的法向量为.
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为.
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
图3-2
如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,,设平面A1BC的法向量为
又,,,即AD//平面A1BC.
,,设平面A1MC的法向量为: ,
又,,设平面A1BD1的法向量为: ,
,,即平面A1MC平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又,A点到平面A1MC的距离为:.
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
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