2016年空间向量与立体几何单元练习题.doc

《空间向量与立体几何》习题

一、选择题（每小题5分，共50分）
1.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是
A.－a+b+c B.a+b+c
C.a－b+c D.－a－b+c
2.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是
A. B.
C. D.
3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于
A. B. C. D.
4.若，，与的夹角为，则的值为
A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1
5.设，，，则线段的中点到点的距离为
A. B. C. D.
6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④
7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
A.
B.
C.
D.

8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°

9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A. B. C. D.
10.⊿ABC的三个顶点分别是，，，则AC边上的高BD长为
A.5 B. C.4 D.

二、填空题（每小题5分，共20分）
11.设，，且，则 .
12.已知向量，，且，则=________.
13.在直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为 ．
14.如图，P—ABCD是正四棱锥，
是正方体，其中
，则到平面PAD
的距离为 .

三、解答题（共80分）
15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．

16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG..

17.（本小题满分12分）如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：
（1）直线面；
（2）平面面．

18.（本小题满分14分）如图，已知点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.
（1）求DP与所成角的大小；
（2）求DP与平面所成角的大小.

19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;
（3）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．

20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，
平面，，分别是的中点．
（1）证明：；
P
B
E
C
D
F
A
（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

练习题参考答案
一、选择题
1.=c+(－a+b)=－a+b+c，故选A.
2.

故选D.
3.∵,,

故选B.
4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D
10.由于，所以,故选A

二、填空题
11.9 12.3
13.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则
∵

14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
设平面PAD的法向量是，
，∴，取得，
，∴到平面PAD的距离.

三、解答题
15.解：（1）∵是PC的中点，∴

（2）

.
16.解：（1）如图

（2）所求多面体体积．
A
B
C
D
E
F
G

（3）证明：在长方体中，
连结，则．
因为分别为，中点，
所以，
从而．又平面，
所以面．
17.证明：（1）∵E,F分别是的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵AD面ACD，EF面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC，
∵BD面BCD，∴面面.
18.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
在平面中，延长交于．
设，由已知，
由，可得．
A
B
C
D
P

x
y
z
H
解得，所以．
（1）因为，
所以，即与所成的角为．
（2）平面的一个法向量是．
因为，
所以，可得与平面所成的角为．
19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.∴
(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE
证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD 且平面∴BD⊥PC
又∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE
(3)解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG
∵CD=CB,EC=EC，∴≌，∴ED=EB
∵AD=AB，∴△EDA≌△EBA，∴BG⊥EA
∴为二面角D－EA－B的平面角
∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE
在Rｔ△ADE中==BG
在△DGB中，由余弦定理得
∴=，∴二面角D－AE－B的大小为.
解法2：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则,从而
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

由法向量的性质可得：，
令，则，∴
设二面角D－AE－B的平面角为，则
∴，∴二面角D－AE－B的大小为.
20.（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．
（2）解：设，为上任意一点，连接．
由（1）知平面，
则为与平面所成的角．
在中，，
所以当最短时，最大，
即当时，最大．
此时，
因此．又，所以，
所以．
解法一：因为平面，平面，
所以平面平面．
过作于，则平面，
过作于，连接，则为二面角的平面角，
在中，，，
又是的中点，在中，，
又，在中，，
即所求二面角的余弦值为．
解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
P
B
E
C
D
F
A
y
z
x
，
，
所以．
设平面的一法向量为，
则因此
取，则，
因为，，，所以平面，
故为平面的一法向量．
又，所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
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