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专题1：速解选择填空题
曹江二中 徐小明 高二（3）
广东高考数学考卷中，选择、填空题均属客观题，占分约46.7%，考好选择填空题，在很大程度上决定了高考的成败。对客观题的心理策略是：克服心理恐惧，树立志在必得的信心；战术策略是：不局限于直接法，灵活运用各种方法以求达到准确、迅速解题的目的。我们的宗旨是：“不择手段，多快好省”。
（一）选择题及其解法
解题时，应该“不择手段”地以达目的，切忌“小题大做”而“潜在失分”。应尽量减少低级失误：“看错、算错、写错、抄错、用错、想错”。解答选择题“要会算，要会少算，也要会不算”。
方法1：特殊化法（即特例判断法）
特殊化法，即把满足题设条件的特殊值代入结论或考虑特殊图形、特殊位置、特殊函数、特殊数列等特殊情形，从而作出正确选择的方法。
例1．（2004广东）如右下图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0
与直线 x–y+1=0的交点在( B )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D.第一象限
提示：取满足题设的特殊值
a=2，b=–3，c=1
解方程 得
于是排除A、C、D，故应选B
例2．函数f(x)=Msin() ()在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=–M，
f(b)=M，则函数g(x)=Mcos()在[a，b]上（ c ）
A．是增函数 B．是减函数 C．可以取得最大值M D．可以取得最小值–M
提示：取特殊值。令=0，，则
因，则，这时 显然应选C
例3．已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ c ）
A．130 B．170 C．210 D．260
提示：解法1：特殊化法。令m=1，则a1=S1=30，
又a1+a2=S2=100 ∴a2=70
∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110 故应选C
例4．已知实数a，b均不为零，，且，则等于（ B ）
A． B． C．– D．–
提示：法1：特殊化法。取，则 故应选B
例5．（2001理）若定义在(–1，0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是（ B ）
A．（0，） B．（0， C．（，+） D．（0，+）
提示：取a=1可排除C、D取a=可排除B
例6．（95全国理）已知I为全集，集合M，NI，若，则（ C ）
A．CIMCIN B．MCIN C．CIMCIN D．MCIN
提示：取I={1，2，3，4}，M={1，2，3}， N={1，2}
则CIM={4}， CIN={3，4}
故易得C
课堂训练：
1．若等比数列的各项均为正数，前n项之和为S，前n项之积为P，前n项倒数之和为M，则（ ）
A． B． C． D．
2．设数列{an}是公比为a (a≠1)，首项为b的等比数列，Sn是{an}前n项和，对任意的n∈N*，点(Sn，Sn+1) ( )
A．在直线y=ax–b上 B．在直线y=bx+a上
C．在直线y=bx–a上 D．在直线y=ax+b上
方法2：排除法（筛选法）
排除法，是从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，逐个淘汰与题设矛盾的选择支，从而筛选出正确答案。
例1．（2002理）在内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是（ C ）
A．(,)(,) B．(,) C．(,) D．(,)(,)
提示：根据选项特点：取x=代入显然成立从而排除A、B、D
例2．设是第二象限的角，则必有（ A ）
A． B． C． D．
提示：令，则，于是，，，
排除B、D； 令，则，则，
，从而排除C，故应选A
例3．设函数，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ）
A．(–1,1) B．(–1,+) C．(–,–2)(0,+) D．(–,–1)(1,+)
例4．已知是第三象限角，|cos|=m，且，则等于（ D ）
A． B．– C． D．–
提示：由题设，取，显然满足题设条件。
此时有，而，从而排除A、C。
把代入B，排除B。故应选（D）
例5．已知二次函数f(x)=x2+2(p–2)x+p，若f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f( c)>0，
则实数p的取值范围是（ C ）
A．（1，4） B．（1，+） C．（0，+） D．（0，1）
提示：取p=1代入检验。 显然 在[0，1]内有解， 满足题意。
从而排除A、B、D故应选C
巩固训练题：
1．设I是全集，集合P，Q满足PQ，则下面的结论中错误的是（ ）
A． B．CIPQ=I C．PCIQ= D．CIPCIQ= CIP
2．设函数y=f(x)的定义域是正实数集，且具有性质：f(xy)=f(x)+f(y)，又已知f(8)=3，则f()=( )
A．1 B．–1 C． D．–
3．函数的图象是（ ）
y
x
D
–1
O
x
y
C
O
1
x
y
B
–1
O
x
y
A
O
1

4．函数的单调递减区间是（ ）
A．[k–,k+]（k∈Z） B．[k+，k+]（k∈Z）
C．[k–,k+]（k∈Z） D．[k+，k+]（k∈Z）
方法3：数形结合法（图象法）
根据题目特点，画出图象，得出结论。
例1．（南京考题）对于任意x∈R，函数f(x)表示–x+3，，x2–4x+3中的较大者，则f(x)的最小值是（ A ）
A．2 B．3 C．8 D．–1
x
y
A
B
C
O
3
3
1

从图象可知
图象的最低点为B(1，2)

∴函数f(x)的最小值为2.

（***f(x)的图象如红色曲线所示）

B
x
y
O
C
例2．已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（ D ）
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，]
提示：由图可知
（设夹角为）
例3．已知方程|x–2n|=k(n∈N*)在区间[2n–1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ B ）
A．k>0 B．0<k≤ C．≤k≤ D．以上都不是
O
x
y
1
2n–1
2n
2n+1

提示：（数形结合法） 可考察曲线E：y=(x–2n)2
与直线L：y=k2x 在[2n–1，2n+1]上的图象
由图可知，要使L与C有两个不同交点，
1
A
B
-1
-1
O
x
y
P
则
例4．如果复数z满足|z+i |+|z–i |=2，那么|z+i+1|的最小值是（ A ）
A．1 B． C．2 D．

方法4：代入检验法（验证法）
将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。
例1．已知a，b是任意实数，记|a+b|，|a–b|，|b–1|中的最大值为M，则（D ）
A．M≥0 B．0≤M≤ C．M≥1 D．M≥
提示：把M=0代入， 则无解，排除A、B；
再把M=代入检验，存在满足条件，排除C。 故应选（D）
例2．已知二次函数，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使，则实数p的取值范围是（ C ）
A．（1，4） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（0，1）
提示：取p=1代入检验。显然 在[0，1]内有解， 故应选C
例3．(2004广东)变量x，y满足下列条件：

则使得z=3x+2y的值的最小的(x，y)是（ B ）
A．（4.5，3） B．（3，6） C．（9，2） D．（6，4）
提示：一一代入检验。显然A不满足2x+3y=24，把B、C、D代入运算，然后比较大小可得。
巩固训练：
1．已知数列{an}的通项公式，则数列{an}的前30项中最大项与最小项分别是（ ）
A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30

方法5. 直接求解法
例1． 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S6=36，Sn=324，Sn–6=144
(n>6,n∈N*)，则n等于（ C ）
A．16 B. 17 C. 18 D. 19
提示：选择题允许跳步解答，即使直接求解也可考虑公式的恰选。
（复习中记住一些常用结论有利于速解选择题）
如：本题可运用结论得
即，解得 n=18
例2． 若都是锐角，且，则的最小值为（ 16 ）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 24
提示：（记住一些常用规律有利于速解选择题）
如：本题运用常值代换求最值。因，
于是有
=≥10+6=16
当且仅当即时等式成立。
例3．如图，D、E、F分别是三棱锥S—ABC侧棱SA、SB、SC上的点，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么过D、E、F的平面截三棱锥S—ABC所得上、下两部分体积之比是（B ）
F
S
A
B
C
D
E
A．2:25 B. 4:23 C. 4:31 D. 6:23
提示：（借助已有经验或结论，如我们做过的考题的结论速解选择题）
如本题可运用广东2004高考填空题14的结论解题。
于是
例4．（2003海南）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，），Q（n+2，）（n∈N*）的直线的斜率为（ C ）
A．4 B．3 C．2 D．
提示：（根据相关性质，应善于等价转化）
由{}是首项为a1，公差为的等差数列知，点A(2，)，B(5，)与点P、Q共线。因=5，=11，于是 故应选（C）
例5．某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（ B ）
A． 15 B． 30 C．45 D．60
提示：直接求解法要求熟悉常用公式与性质。
（系统地掌握相关公式有利于速解选择题）
凸多面体研究常用公式有四：① V+F–E=2；② E=（n为每面的边数）；
③ E=（V个顶点，每个顶点有m条棱）；
④ （其中S为凸多面体各面多边形内角之和。）
解：设有x个三角形，y个五边形，每个顶点处有m条棱，则

由，又，
故V=30
解选择题要求“准”、“快”、“巧”。除以上所述五种常用方法外，还有估值
法、特征分析法、概念判断法、逻辑分析法等，考生在解选择题时，必须根据题型特点，选择简捷解法（有时“多法并用”于一题），快速求解。
（平时可适当加强“限时训练”——如面对20道选择题，限制在30分钟内完成，这样你会全身心地投入解题，思想高度集中，大脑迅速运转，于是书写速度、运算速度、画图速度都会加快，坚持训练，你会惊奇地发现，不用30分钟题目竟做完了。）
巩固训练
1．已知△ABC中，，，则（ ）
（A）A>C>B (B) A>B>C (C) B>C>A (D)C>B>A
2．在等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，则△F1PF2的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．设，那么m等于（ ）
A． B．9 C．18 D．27
6．长方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D．

7．已知函数f(x)满足f(3)=2，，则的值为（ ）
A．–4 B．0 C．8 D．不存在
8．已知，等于（ ）
A． B． C． D．5
9．在中，若为钝角，则tan A·tan B的值为（ ）
(A)小于1 (B) 等于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
10．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
专题1：速解选择填空题
（二）填空题及其解法
填空题与选择题一样，均是高考试题的主要题型，能否迅速、正确、快捷地解好填空题也是高考成败的关键。
填空题特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等。填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。
作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就懂，不懂就不懂，难有虚假。填空题也在一定程度上有效地考查了考生的阅读能力、观察和分析能力。
与选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是：“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。
解填空题的几个基本要求：
（1）“正确”——“正确”是数学解题之本，由于解答填空题时，不要求反映解答过程，只要求填空结果，因此，结论是判定解题是否正确的唯一标准。为此，解题时，应认真审题、明确要求，弄清概念、明白算理，正确表达。防止任何错误的产生。
（2）“合理”——“合理”是正确的前提，运算过程合理，运算方法简便是解题的关键，也是正确的保证。为此，要遵循基本运算程序，运算规律，必须充分运用观察法，发挥想象，认真分析数量关系和结构特征，或选择适当的变换再进行运算。
（3）“迅速”——“迅速”的基础是概念清楚，算理明白，运算熟练，应充分利用已知结果，合理跳步，积累并灵活运用一些自编的口诀、规则，有利于速解填空题。
解填空题的常用方法：
方法1：直接求解法
——由题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断而得到结论。
运用直接法解填空题：①要善于透过现象抓住问题的本质，有意识地采用灵活简捷的解法；②要根据式子的结构特征，恰当地进行恒等变形，达到简化运算的目的。
例1．（2002全国理）已知函数，那么
+ 。
提示：计算之前，应认真观察数式结构特征，因为结构决定了解题的方向。
我们从整体考虑：（定值）
于是，，，又
故原式=
例2．（2000理）设{an}是首项为1的正项数列，且满足=0
（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an= 。
提示：由题设可得
因，所以有
（整体思考）由此可知，数列{nan}为常数数列。

例3．设，则的值等于 。
提示：整体代换。（考察数值特征，运用数值运算的周期性）
显然 而2005=167×12+1，故原式=
例3． 老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的性质：（甲）对
于任意x∈R，都有f(1+x)=f(1-x)；（乙）在上函数递减；（丙）在(0，+∞)上函数递增；（丁）f(0)不是函数的最小值。
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 如y=(x–1)2 。
提示：开放式填空题，往往答案丰富多彩。这时可考虑从一个最容易的条件入手，写出一个适合的命题，再不断验证其余条件是否满足即可。
例5．两个腰长均为 1 的等腰直角△ABC1和△ABC2，C1-AB-C2是一个60° 的二面角，则点C1和C2之间的距离等于 。(请写出所有可能的值)
提示：注意考虑问题的全面性。本题题中并没有规定哪个角为直角，于是须作充分分析。
易见，图形位置三情形：
A
B
C1
C2
E
1
1
1
1
A
B
C1
C2
1
1
1
A
B
C1
C2
1
1
1

①|C1C2|=1 ② |C1C2|= ③ |C1C2|=

方法2：数形结合法（即图象法）
——借助图象的直观性，通过数形结合的方法，迅速作出判断。文氏图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形。
1
x
y
A
B
O
–1
例1．若关于x的方程有两个不等实根，则实数k的取值范围是 。
提示：明确范围，画图分析。
（运用运动变化的观点研究数学问题）
易得：
例2．由函数y=2sin3x(≤x≤)与函数y=2(x∈R)的图象围成一个封闭图形，则这个封闭图形的面积是 。
提示：画出图象，再根据图象的对称性，注意图形的合理化“割”与“补”。
可得：
练习：若实数x，y满足（0≤），则的取值范围是 。
方法3： 特殊化法
——当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特
殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。
例1．设a>b>1，则logab，logba，logabb的大小关系是 。
提示：特殊值法。
令a=4，b=2，则，，
例2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a，b，c成等差
数列，则 。
提示：（特殊图形）
由题设可取a=b=c即三角形ABC为等边三角形，则
原式=。 （也可以取a=3，b=4，c=5）
例3．的值为 。
提示：令，则原式=
例4．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则 的值是 。
提示：取特殊数列：令an=n 答案为
例5．（2004广州二模）在空间直角坐标系O—xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都是6，则这个多边形的面积为 。
O
x
y
z
A
B
C
E
4
4
3
提示：构造特殊图形，选择特殊位置解题。

构造如图，则
OE=，

巩固训练：
1． 已知函数，则的
值为 。
2． 是正实数，设，若对每个实数a ，∩的元素不超过２个，且有a使∩含有２个元素，则的取值范围是___________．（辽宁2005高考试题第16题）

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