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第3讲　分式

考标要求
考查角度
1.能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．
2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
　　命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式.

知识梳理
一、分式
1．分式的概念
形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的“三个条件”
(1)分式无意义的条件是B＝0；
(2)分式有意义的条件是B≠0；
(3)分式值为零的条件是A＝0且B≠0.
二、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个__________的整式，分式的值不变．用式子表示是：
＝，＝(其中M是不等于0的整式)．
三、分式的约分与通分
1．约分
根据分式的基本性质将分子、分母中的________约去，叫做分式的约分．
2．通分
根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__________的分式，这种变形叫分式的通分．
四、分式的运算

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是______分式或整式．
自主测试
1．下列式子是分式的是(　　)
A． B． C．＋y D．
2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　)
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大9倍 D．不变
3．(2012湖北宜昌)若分式有意义，则a的取值范围是(　　)
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
4．(2012河北)化简÷的结果是(　　)
A． B． C． D．2(x＋1)
5．(2012浙江杭州)化简得__________；当m＝－1时，原式的值为__________．

考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件
【例1】 (2011云南普洱)使分式有意义的x的取值范围是__________．
解析：要使分式有意义，则分式的分母不等于零．由分母x－1≠0，得x≠1.
答案：x≠1
方法总结 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
触类旁通1若分式无意义，则当－＝0时，m＝__________.
考点二、分式的基本性质
【例2】 不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为(　　)
A． B． C． D．
解析：因为要求不改变分式的值，把的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可．
答案：C
方法总结 运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：＝，＝(其中m≠0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．
触类旁通2下列运算正确的是(　　)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
考点三、分式的约分与通分
【例3】 化简：＝__________.
解析：＝＝.
答案：
方法总结 1.分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．
2．通分的关键是确定最简公分母．
求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母．
触类旁通3分式，，的最简公分母为(　　)
A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) B．(a2－b2)(a＋b)
C．(a2－b2)(b－a) D．a2－b2
考点四、分式的运算
【例4】 (1)化简：＋.
(2)先化简，再求值：÷，其中x＝－1.
解：(1)原式＝＝＝＝2；
(2)÷＝÷＝·＝x－2.
当x＝－1时，原式＝－1－2＝－3.
方法总结 在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．
关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．

1．(2012湖南常德)化简：÷.
2．(2012湖南张家界)先化简：÷＋1，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．
3．(2012湖南娄底)先化简：÷，再请你选择一个合适的数作为x的值代入求值．
4．(2012湖南长沙)先化简，再求值：＋，其中a＝－2，b＝1.

1．化简÷(m＋2)的结果是(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．(m＋2)2
2．下列等式中，不成立的是(　　)
A．＝x－y B．＝x－y C．＝ D．－＝
3．当x＝__________时，分式的值为零．
4．化简－的结果是__________．
5．计算：·(x－3)＝__________.
6．已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子＋＝__________.
7．先化简，再求值：
(1)÷，其中a＝－1.
(2)÷，其中x＝－3.
参考答案
【知识梳理】
二、不等于零
三、1.公因式　2.同分母
四、最简
导学必备知识
自主测试
1．B　B项分母中含有字母．
2．A　因为x和y都扩大3倍，则2xy扩大9倍，x＋y扩大3倍，所以扩大3倍．
3．C　因为分式有意义，则a＋1≠0，所以a≠－1.
4．C　原式＝·(x－1)＝.
5.　1　原式＝＝.
当m＝－1时，原式＝＝1.
探究考点方法
触类旁通1.　因为由无意义，可得x－1＝0，所以x＝1，由－＝0，得－＝0，
即＝，所以5(2m－1)＝3m－2.
解得m＝.当m＝时，(3m－2)·(2m－1)≠0，
故所求m的值为.
触类旁通2.C　因为＝＝，＝＝，＝－＝－＝－，故选C.
触类旁通3.D　因为a2－b2＝(a＋b)(a－b)，b－a＝－(a－b)，所以最简公分母为(a＋b)(a－b)，即a2－b2.
品鉴经典考题
1．解：原式＝÷＝·＝.
2．解：原式＝·＋1＝·＋1＝＋1＝.
例如当a＝1时，原式的值为2.(注：a不能取2或－2或0)
3．解：原式＝·＝x－1.
例如当x＝4时，原式的值为3.(注：x不能取1或－1或0)
4．解：原式＝＝＝.当a＝－2，b＝1时，原式＝＝2.
研习预测试题
1．B　原式＝·＝·＝1.
2．A　＝＝x＋y.
3．2　由题意得x－2＝0且x＋2≠0，解得x＝2.
4.　原式＝－＝＝＝＝.
5.　原式＝1－＝－＝＝＝＝.
6．－6　＋＝＝＝＝－6.
7．解：(1)÷＝·＝.当a＝－1时，原式＝＝＝.
(2)÷＝÷
＝÷＝·＝.
∵x＝－3，∴原式＝＝.