2024年经济数学学习指导.doc

经济数学基础学习指引
【学习进度安排表】（供参考，可酌情自行安排）

每年上六个月和下六个月各安排一次考试，分别在6月份和12月份，每各学期的学习时间为5个月，分别安排如下（其中的（1.1）表示1月1号，其他类似）
第一章 极限与连续
1.1－1.20，7.1－7.20
第二章 导数与微分
1.21－2.10，7.21－8.10
第三章 导数的应用
2.11－3.1，8.11－8.31
第四章 不定积分
3.2－3.20，9.1－9.20
第五章 定积分
3.21－4.10，9.21－10.10
第六章 多元函数微分学
4.11－4.30，10.11－10.31
复习，准备考试
5.1－，11.1－
希望同学们在学习的时候，仔细看视频课件，每一章的最后几次课，都是对参考书（高等教育出版社 顾静相 《经济数学基础 （上册）》 第二版 ）上的习题的讲解，希望大家在看完有关章节的内容后，自行完成对应本节内容的习题，完成习题后，对于有疑问的地方，能够直接看这部分课件的对应内容，对于这部分课件，不一定安次序来看，能够作为大家查阅题目解法的资料来用，不过，要求大家一定要自己做过题目之后，再来看这一部分课件，虽然作不出来，只要思考了，再看一下这部分课件，就能够起到事半功倍的效果。

【章节知识点和重点难点】

第一章 极限与连续
【知识点】
函数、极限
【重点难点】
本章重要讲述了函数和极限两个问题。
1.函数
了解函数概念首先应当明确它是不一样于有关关系确实定性关系，其次要能正确确定函数的定义域和判断它的值域，了解函数符号f的含义。
在了解函数概念的基础上，还要深入掌握函数几个特性的体现式和几何意义，反函数的概念，分段函数的概念和求值得措施，六类基本初等函数的性质和图像，复合函数和初等函数的概念。
2.极限
在了解数列极限的定义、函数极限的定义（六种形式）、极限存在的充足必要条件的基础上，掌握极限的运算法则和下列求极限的措施：
（1） 利用函数的连续性求极限
设f（x）是初等函数，定义域为，若，则。我们懂得求函数值一般是不需要技巧的，因此这种求极限的措施是非常轻易掌握的，它是求极限的首选措施。
（2） 当函数y=f（x）在点处连续时，能够互换函数符号和极限符号，即

（3） 利用无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小求极限。
（4） 利用无穷小量与无穷大量的倒数关系求极限。
（5） 利用如下两个重要极限及其推论求极限，即
（i）；（ii）或，及其推论：

（a，b，c为常数）
对于有理分式的极限，能够按照下面归纳的措施来求。
（1）时，当分母极限不为零时，可直接利用函数的连续性求极限。当分母极限为零时，又分为两种情况：假如分子极限不为零，则由无穷小量与无穷大量的倒数关系可得原式的极限为无穷大；假如分子极限也为零，则分解因式，消去无穷小量因子后再求极限。
（2）时，有下面的结论：

函数概念和极限概念相结合的出的函数连续性的概念是本章的另一个重要概念，函数连续性这部分重要应掌握函数在点连续的两个等价定义、函数在点连续和在该店极限存在的关系、判断间断点的条件和初等函数的连续性。
【课程自主学习要求】
1、了解反函数、函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念；左、右极限的概念；无穷小、无穷大的概念；闭区间上连续函数的性质。
2、了解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念；需求函数与供应函数的概念；函数极限的定义；无穷小的性质；函数在一点连续的概念；初等函数的连续性。
3、掌握复合函数的复合过程；极限四则运算法则。
4、会用函数关系描述经济问题；对无穷小进行比较；用两个重要极限求极限；判断间断点的类型；求连续函数和分段函数的极限。
【课程章节作业】
1、求函数的定义域。
2、设 ，求。
设，则=（ ）．
3、下列函数中，哪两个函数是相等的函数：
A. 与
B. 与
4、 设，求函数的定义域及。
5、 下列函数中，（ ）是偶函数。
A. B.
C. D.
6、 将复合函数分解成简单函数。
7、 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：
(1) 生产件该种产品的总成本和平均成本；
(2) 售出件该种产品的总收入；
(3) 若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？
8、求下列极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
9、填空、选择题
(1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 下列极限计算正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
（3）当（ ）时，在处连续。
A. 0 B. －1 C. 2 D. 1
10、已知
11、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
A．， B．，+ 1
C．， D．，
（提示： 两个函数相等，就是它们的定义域、值域和对应法则都同样）
12、下列结论中，（ ）是正确的．
A．基本初等函数都是单调函数 B．偶函数的图形有关坐标原点对称
C．奇函数的图形有关坐标原点对称 D．周期函数都是有界函数
13、下列函数中为奇函数的是（ ）．
A． B． C． D．
14、若函数，则( )成立．
A．f (-1) = f (0) B．f (0) = f (1) C．f (-1) = f (3) D．f (-3) = f (3)

第二章 导数与微分
【知识点】
导数、微分
【重点难点】
本章重要简介了导数和微分的概念及计算措施.
1. 基本概念
导数是一个特殊形式的极限,即函数的变化量与自变量的变化量之比当自变量的变化量趋于零时的极限.
微分是导数与函数自变量的变化量的乘积或者说是函数增量的近似值.
几何意义:
是曲线在点处的切线的斜率.
是曲线在点处的切线纵坐标对应于的变化量.
是曲线在点处可导,则在点处一定连续.反之, 在点处连续时,则不一定可导.
2. 基本计算措施
本章最重要的计算是能够利用导数基本公式和运算法则(尤其是乘积和商的运算法则),求简单函数和复合函数的导数.
求高阶导数和微分的措施与求导数的措施类似.较特殊的有
隐函数求导法:设方程表示自变量为x因变量为y的隐函数,并且可导,利用复合函数求导公式将所给方程两边同时对x求导,然后解方程求出;
对数求导法:对于两类特殊的函数,能够通过两边取对数,转化成隐函数,然后按隐函数求导的措施求出导数.
3. 简单应用
导数:曲线在点处的切线方程为

微分:当很小时,有近似公式

这个公式能够直接用来计算增量的近似值,而公式

能够用来计算函数的近似值.
【课程自主学习要求】
了解导数、微分的几何意义、经济意义；函数可导、可微、连续之间的关系；高阶导数的概念。
了解导数和微分的概念。
掌握导数、微分的运算法则；导数的基本公式；复合函数的求导法则。
导数与微分的概念是建立在极限概念的基础上的，它是研究函数性态的有力工具。本章将简介导数与微分的概念，计算导数与微分的基本公式和措施。
【课程章节作业】
1、填空、选择题
（1）.设，则（ ）。
A．不存在 B. C. D.
（2）设，则（ ）。
A． B. C. D. 不存在
（3）极限
A. 1 B. cosx0 C. sinx0 D.不存在
（4）设在处可导，且，则( )。
A.不存在 B. C.0 D. 任意
（5）曲线在点（1，0）处的切线是（ ）
A. B.
C. D.
（6）函数在点x0=16处的导数值（ ）。
2、求下列导数或微分：
（1） 设，求；
（2）设，求y¢
（3）设隐函数 ．
（4）设，求。
3、填空、选择题
（1）若，则（ ）．
A． B．
C． D．
（2）已知函数y = f(x)的微分dy = 2xdx, 则y²=( )。
A.0 B.2x C.2 D.x2
（3）（ ）。
A. B. C. D.
（4）若可导，且，则下列不等式不正确的是( )。
A. B.
C. D.
（5）若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的．
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但
C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微

第三章 导数的应用
【知识点】
罗尔定理、拉格朗日中值定理、
洛必达法则、
利用导数判断函数的单调区间、凹向区间及求一元函数极值和作函数图形的措施
【重点难点】
1、中值定理（见下面框图）

拉格朗日
条件：
（1）在上连续
（2）在内可导
结论：
内最少存在一点，使

推论1 若，则
推论2 若
则
柯西定理
条件：
（1），在上连续
（2），在内可导
（3）
结论：
内最少存在一点，使

罗尔定理
条件：
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
结论：
内最少存在一点，使

2、洛必达法则：若分式是型或型未定式，并且，则有

上述公式对和都成立。
3、 导数在研究函数特性方面的应用及函数作图
（1）判断函数的单调区间 设函数在区间内可导。
假如在内，，那么函数在区间内单调增加；假如在内，，那么函数在区间内单调减少。
（2）求函数的极值 设，当由小增大通过点时，若由正变负，则是极大值点；若由负变正，则是极小值点；若不变化符号，则不是极值点。
或用二阶导数的符号判断：若，则函数在点处取得极大值；若，则函数在点处取得极小值。
（3）求函数在闭区间上的最大值和最小值 用函数的极值（或驻点的函数值）和端点值相比较求得。
（4）判断曲线的凹向区间和拐点 在某个区间内，假如，则曲线上凹；假如，则曲线下凹。变化符号的点为曲线的拐点。
（5）求曲线的渐近线 若，则为曲线的水平渐近线；若，则为曲线的铅锤渐近线。
（6）函数的作图问题是在以上（1），（2），（3），（4），（5）各问题讨论的基础上，列表、画图。
4.导数在经济问题中的应用
（1）边际成本，边际收入，边际利润。
（2）需求弹性，供应弹性。
【课程自主学习要求】
了解罗尔定理和拉格朗日中值定理.
了解函数极值的概念.
掌握求函数的极值,判断函数的增减与函数图形的凹向,求函数图形的拐点等措施.
会用导数关系描述边际,弹性等概念;描绘函数的图形;用洛必达法则求未定式的极限.
【课程章节作业】
1、(1)在指定区间[－10，10]内，函数（ ）是单调增加的。
A. B. C. D.
（2）函数的单调增加区间是（ ）。
（3）若，则是函数的（　 ）．
　　A. 极大值点　　　B. 最大值点 　　 C. 极小值点　　　 D.驻点
（4）若某商品的需求量q对价格p的函数q=100·（ ）P，则需求量对价格的弹性EP= ．
2、经济应用题
1．生产某种产品台时的边际成本（元/台），固定成本500元，若已知边际收入为试求
（1）取得最大利润时的产量；
（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？
2. 设某产品的成本函数为
（万元）
其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？
3. 生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求为q =120-2p (其中q是产销量，单位：台；p是价格，单位：万元). 求
(1) 使该产品利润最大的产量；
(2) 使利润最大的产量时的边际收入.

第四章 不定积分
【知识点】
不定积分、基本积分公式、换元积分法、分部积分法、一阶微分方程
【重点难点】
1.原函数与不定积分的概念
设函数是定义在某区间上的已知函数，假如存在一个函数，对于该区间上每一点都有，则称是在该区间上的一个原函数。
的不定积分是的所有原函数。即

2.不定积分的性质
不定积分与求导数或微分互为逆运算。
两个函数之和的不定积分等于各自积分的和。
被积函数的非零常数因子可移到积分号外。
3.换元积分法
第一换元法：设，则

其中可导，连续。
第二换元法：设，可导，连续，

4.分部积分法

5.一阶微分方程
变量已分离的微分方程一般形式为

两边积分可求得方程的通解。
一阶线性非齐次方程一般形式为

可用常数变易法或公式法求其通解。
6、 积分表
不定积分的计算比较灵活，计算量较大。为了以便，往往把常用的积分公式聚集在一起，称为积分表，读者应熟记基本积分表。另某些常用积分公式则列表如下，计算有关积分时，可查表直接应用这些公式：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

【课程自主学习要求】
了解原函数和不定积分的概念
掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分和分部积分法
了解不定积分的经济应用
了解微分方程的概念。会解简单的一阶微分方程
【课程章节作业】
1、填空、选择题
(1) 若，则（ ）成立．
A． B．
C． D．
(2) 假如，则f（x）=（ ）.
A. 2sin2x B. －2cos2x C. －2sin2x D. 2cos2x
(3) 已知，那么常数a =（ ）．
A. B. C. D.
(4) （ ）．
A． B.
C. D.
(5)．设是函数的一个原函数，则＝（ ）．
A． B.
C. D.
(6) 设的一个原函数是，则（ ）．
A. B. C. D.
(7) 设函数, 则=( )．
A. x2+c B. C. D.
(8). 已知=sinx + c，则f（x）=( )
A. B. xsinx C. D. xcosx
2、试证明与是同一函数的原函数.
3、计算下列积分
（1） （2）
（3） （4）

第五章 定积分
【知识点】
定积分、变上限定积分、牛顿－莱布尼茨公式、定积分在经济管理中的应用、平面图形的面积计算
【重点难点】
1.定积分的概念
函数在区间上的定积分是通过积分和的极限定义的：

这与不定积分的概念是完全不一样。通过牛顿-莱布尼茨公式，能够利用不定积分来计算定积分，从而建立了两个概念间的联系。
2.定积分的性质
定积分的性质（见5.1.3性质1~7）在积分的理论和计算中具备重要的应用。除了上述性质外，如下结论在积分计算中也有重要应用：
（1）定积分的值仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的选用无关。即

（2）互换定积分的积分上、下限，定积分变号，即

尤其地，当初，有

（3）对于定义在上的连续奇（偶）函数，有

3.变上限的定积分
假如函数在上连续，则函数

以为积分上限的定积分的导数等于被积函数在上限处的值。即

一般地，假如可导，则

4.牛顿-莱布尼茨公式
设函数在区间上连续，且是的一个原函数，则

这一公式阐明：只需计算的一个原函数或不定积分，就能够求得在区间上的定积分。
5.定积分的计算
（1）定积分的换元积分法。用换元积分法计算定积分时，应注意定理5.3的条件，尤其是变换的单调性，并与不定积分的换元法相区分。
（2）定积分的分部积分法。
6.无限区间上的广义积分
无限区间上的广义积分，标准上是把它化为一个定积分，再通过求极限的措施确定该广义积分是否收敛。在广义积分收敛时，就求出了该广义积分的值。
7.定积分的应用
定积分可应用于求平面图形的面积，或在已知某经济函数的变化率或边际函数时，求总量函数或总量函数在一定范围内的增量。
【课程自主学习要求】
了解定积分的概念，掌握定积分的基本性质
掌握变上限定积分的导数计算措施。
纯熟利用牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式计算定积分，纯熟掌握定积分的换元积分法和分布积分法。
了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积。
【课程章节作业】
1、填空、选择题
(1 ) 积分=（ ）．
(2 ) （ ）．
（3）若广义积分，则a =（　 ）.
　　A. 1 　 B. 　C. 2　　 D. -1
（4） =( )．
A. －ln(x2+1) B. ln(x2+1)
C. ln(x2+1)2x D.－ln(x2+1)2x
（5）下列微分方程中（ ）为一阶线性微分方程．
A、 B、
C、 D、
2、 计算下列定积分
（1） （2）
（3）
3、求曲线与直线及所围成平面图形的面积．
4、 应用题
已知某产品的边际成本=2（元/件），固定成本为0，边际收益，其中x为产量．求：
(1) 产量为多少时利润最大？
(2) 在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
5、 方程 是　　 阶微分方程．
6、 求解初值问题
7、 求微分方程满足初始条件的特解．

第六章 多元函数微分学
【知识点】
空间直角坐标系、多元函数、二元函数的偏导数和全微分、隐函数和复合函数的微分法、二元函数极值
【重点难点】
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系的引入，使空间中的点与有序实数组（x，y，z），空间中的曲面与方程F（x，y，z）=0建立了对应的对应关系。这为研究二元函数性质提供了直观的几何解释。
2.二元函数的极限和连续
二元函数的定义与一元函数的定义类似，但更应注意它们之间的差异。一元函数的定义域是数轴上的点集，二元函数的定义域一般是平面上的点集。在讨论一元函数在处的极限和连续性时，点x趋于的方式仅有从点的左、右两个方向沿数轴趋于；但在讨论二元函数在点处的极限和连续性时，点（x，y）趋于，则能够有无穷多个方式和途径在平面上趋于。因此，对二元函数极限和连续问题的讨论要比一元函数负杂得多。
3.偏导数和全微分
求二元函数偏导数时，只需将一个自变量看作常数，对另一自变量利用一元函数求导公式和四则运算法则即可。不过，二元函数偏导数的存在不能确保二元函数连续。这与一元函数可导必连续是完全不一样的。
二元函数的全微分概念类似于一元函数。在一元函数微分学中，可导即可微。不过，在二元函数中，两个偏导数存在，也不能确保函数f（x，y）在点（x，y）处可微。而f（x，y）在点（x，y）处可微时，则偏导数存在，并且全微分

二元函数的高阶偏导数是对应的低一阶偏导数的偏导数，由此定义可求但应注意：二阶混合偏导数不一定相等，只有在某些条件下它们才是相等的。能够证明：设函数z=f（x，y）在区域D内连续，并且存在一阶偏导数和二阶混合偏导数，假如在点处，连续，则

注 在本教材的例题和习题中，函数z=f（x，y）均满足这一结论的条件。
4.复合函数和隐函数的微分法
在利用复合函数微分法时，应先分清变量间的关系：哪些是中间变量，哪些是自变量。一般，可画出变量关系图，明确复合关系，然后利用公式得到正确成果。
利用公式法求隐函数的偏导数时，则应先把方程化为F（x，y，z）=0（或F（x，y）=0）的形式，在计算要把x，y，z看做独立的自变量，就可得到

5.二元函数的极值
在求二元函数z=f（x，y）的极值时，应按下述步骤进行：
（1）由函数极值存在的必要条件，求解

得到所有的驻点。
（2）对于每一驻点，计算z=f（x，y）的二阶偏导数在该点的值：

（3）判断是否为极值点：利用极值的充足条件，
当是极值点。且时，函数有极大值时，函数有极小值
当不是极值点。
当，不能确定是否为极值点。
【课程自主学习要求】
了解空间直角坐标系的概念。
了解二元函数的概念，了解二元函数的极限、连续的概念和性质。
了解二元函数的偏导数、全微分的概念，掌握求二元函数偏导数和全微分的措施。
掌握隐函数和复合函数的微分法。
了解二元函数极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘子法求解简单的条件极值问题。
【课程章节作业】
1. 求满足下列条件的点的坐标：
（1） 点（2，-1，1）有关xy平面的对称点；
（2） 点（2，-1，1）有关xz平面的对称点；
（3） 点（2，-1，1）有关原点O的对称点。
2. 判断下列各点是否在球面

3. 求下列函数的极值：