直观想象开路,推理运算冲锋——立体几何动态问题探索.pdf

数学之友2023年第10 期直观想象开路，推理运算冲锋解题探索一一立体几何动态问题探索楼凌吉（浙江省杭州市萧山区第二高级中学，浙江杭州，3 112 51)摘要：离开坐标法处理几何问题，学生常常束手无策，遇到动态问题便“知难而退”针对这一现象，需要运用几何直观和空间想象来感知变化着的位置关系，后用逻辑推理和数学运算进行论证求解，不同层次的学生得到不同的发展.在成功体验的引领下，学生以更大的热情投入到立体几何动态问题的研究中，核心素养得到进一步提升。关键词：直观想象；逻辑推理；数学运算；立体几何动态问题师引导学生运用几何直观和空间想象，使点S从几1问题呈现个不同的维度运动起来，进而观察三个角的变化.学试题1在三棱锥S-ABC中，ABC为正三角形,设二面角S-AB-C,S-BC-A,S-CA-B的平面角的大小分别为,(,，则下面结论正确的2是（）.1A.tan tan tan B.+TTC1D.tan tan tan 2问题解决本题编排在笔者学校高三第一学期期末复习综合卷第9 题，据数据统计，全校和笔者任教的两个班级答题情况如表1所示.AB全校41.91%310班45.8%317班48.8%由此可见，任教班级选择C选项的比例要高于全校平均水平.经调查发现，这部分学生的读题率远低于班级平均水平，其次是作图率不高，做到了“知难而退”.在课堂上，学生继续审题，作出图形后，发现点S的位置影响着三个二面角,，的大小.教1的值恒为正数表1C19.1%10.79%10.4%25%11.6%23.2%CGFAE图1D(正确率)再看表1,全校选择B选项的比例要高于笔者28.2%任教的班级，这在一定程度上反映出其他班级有更多的学生能作出图2.虽然这不是正确选项，却意味18.7%着他们已经迈出第一步,敢于审题,并作出相应的16.3%图形.在课堂上，有学生提出，研究完点S的纵向运动,接下来应该研究点S的横向运动，即点S在底面射影S.的变化.当点S,在ABC内部运动时，三个二面角的变化并不明显.紧接着，学生马上将点S，移到ABC的外部,如图3,发现为钝角，点S离BCBAE图2B2023.10_65口E数学之友越远,越大,最后趋向于，而此时的，仍为锐角,还是无法判定三者的和与一的大小关系.此时，有学生提出，如图4,为钝角，点S,离射线BE，BF越远,越大,最后均趋向于,因此排除B选项.笔者继续提问该学生：“这样的三棱锥并不常见，你是如何想到点S，落在这个位置.”因为两两相交的三条直线（不共点）把平面分成了7 部分，ABC是正三角形,所以区域可以归为三类，只要把点S，在三个区域的情况研究完整即可.ABE图3GABF图4直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括：利用空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路 .立体几何的动态问题未必给出对应的图形，作图是学生遇到的第一个关卡.作图是一项集结了观察和思考的技能，应让学生有更多的时间和机会亲自动手，体会几何图形中隐含的数量关系和位置关系，增强对图形的观察能力 2 .通过全方位地考虑点S的位置，借助几何直观和空间想象,排除了B,C两个选项,进一步提升了学生的直观想象能力，为后续研究指明了方向,奠定了基础.回到题目本身，tan tan tan 负数无法从几何图形中直观感知，这就需要用逻辑推理和数学运算来判定.66_数学之友2023年第10 期1由图2 可知，+3tan ES,FSt11SS,SS,+tan tanGS,ES,+FS,+GS,SS,SS,然成立.由图3 可知，111ES,tan tan tan FS1GS,_ ES,-FS,+GStSSS,SS,出建立平面直角坐标系，运用点到直线的距离公式。如图5,不妨令正三角形的边长为2,S（x o，%）为线段BC,射线CG,BE围成区域内的一个动点,则ES,-1/3x0+y0-/31,1/3x0-yo+/31FS,+GS,=yo-2/3xo+y0-/3/3x0-y0+/3=/3,运用线性规划解除22了绝对值这一障碍.甚至有学生发现点S,是ABCS中心时,ES,+FS,+GS,=/3,猜想点S,位于ABC内部时,ES,+FS,+GS,也恒为/3.这为第三种情况的证明指明了方向.S此外,由三角形内一点到三边的距离,在图2 中不难联想到用等面积法SAABC=SAABS,+SABCS,+SACSI，求得 ES,+FS,+GS,=V3一AB，可以引导学生沿着这个2思路去探索第二种情况。SAABC=SABS,+SAACs-SABCSI(图 3),故 ES,+GS,-FS,=+2tan tan 10.tan第三种情况的两种方法作为课后提高训练，并选取优秀的作业进行展示，这个环节既提高了课堂效率，又保证了学生充分的消化时间和进一步探索的空间，不同层次的学生得到了不同的发展.变式1在三棱锥 S-ABC中,ABC为正三角形，设SA,SB,SC与底面ABC所成的线面角分别为,TT(,+2若正三角形ABC 的边长为2,点S在距离底面恒为/3 的是否可以取到1平面上运动,则tan tantan(C(0,V3)?S,十0显A(-1,0)SS,.为表示出三个距离，学生提SS,=yo-2V31AB,故,则+的取值范围是1一的取值范围是B(1,0)图51；A数学之友在后续的学习中安排变式1的学习，旨在让学生学会审题作图，进一步掌握用直观想象来解决问题的方法.3问题拓展试题2（2 0 2 0 学年第一学期杭州市高三教学质量检测第17 题）如图5，在棱长为/2 的正方体ABCD-A,B,C,D,中,棱BBi,B,C,的中点分别为E,F,点P在平面BCC,B,内，作PQ平面ACD,垂足为Q.当点P在EFB,内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于本题是填空题的最后一D题，在配有图形的情况下，学生的正确率还是非常低.笔者采用问题链向学生呈现事情的来龙去脉，渗透处理问题的基本思路与方法.A问题1：点P和点Q的关系是什么？问题2：点Q的轨迹所组成的图形与EFB,的关系是什么？问题3：B,EF在平面ACD，的射影是什么形状？问题4：不妨令B,EF在平面ACD的射影是AQ 1Q 2 Q 3,点Q1,Q2,Q3是如何确定的？问题5：如何寻找点B1，E,F在平面ACD,的射影？有学生找到DB1工平面ACD1,DB,与平面ACD的交点即为B,在平面ACD,的射影Q1,如图6,有学生利用正四面体B,-D,AC,确定了点Q1为D,O的三等分点.第二步,在直观想象的基础上,利用空间向量或线面垂直的判定定理证明OE工平面D,AC,也有学生根据垂直于同一平面的两直线平行，在平面D,DBB,内过E作B,QI的平行线，顺利找到Q2的位置，Q；的位置同理可得随着动点P的隐退，动态问题变成了静态问题,学生开始抓住问题的本质：求B,EF在平面ACD,的射影的面积.在上述过程中,学生能在比较复杂的情境中把握事物之间的关联和事物发展的脉络，学会有逻辑地思考问题,形成有条理、重论据的思维品质和理性精神.当然，这些论据的落实离2023年第10 期不开数学运算这一核心素养，探究运算思路，选择运算方法，求得运算结果，每一步都要求学生稳扎稳打.试题3（2 0 2 1学年第一学期杭州市高三教学质量检测第9 题)如图7,在正四面体ABCD中,P,Q分别是棱AB,CD的中点,E，F分别是直线AB,CD上的动点，M是EF的中点,则能使点M的轨迹是圆的条件是(）.BA.PE+QF=2B.PEQF=2C.PE=2QFBD.PE2+QF2=2Q笔者班上这道题的平均分2.47 和2.0 5,均超过DEB图5DB,DQEQ)AB图6EHQC图7全校平均分2.0 3.两个任教的班级都是文科类的选考组合，从开始的连三视图都看不懂，到目前的进步，说明了笔者在立体几何动态问题的教学上取得了一定的成效.当然，能够真正解决问题的学生比例并没有这么高.笔者在课堂上稍作引导之后，接下来的任务由学生课后完成.学生的解决各有不同，但不管是哪种方法，通过几何直观，猜想线段PQ的中点H为所求圆的圆心是至关重要的一步。C试题4（2 0 2 2 年浙江卷第8 题）已知正三棱柱ABC-A,B,C1,AC=AA1,E,F 分别C是棱BC,A,C1上的点,记EF与AA,所成的角为,EF与平面ABC所成的角为,二面角F-BC-A的平面角为,则）AA.B.C.D.EF与 CC,重合时,=0,=T可以马上排2除B,C两个选项.在比较与的大小时,有学生继绒用特殊值法,EF 与 BC.重合时,=号=号T2;有学生用空间角中的最大角定理直接得到；有学生用定义法在图上作出了,，根据直角三角形的边长，判断三者的大小关系.直观想象、推理运算的核心素养渗透对于解决立体几何动态问题十分重要.2023.10_67MFA,FBB图8T数学之友4小结试题1，只字不提“动”，实则需要自觉地、多维度地动起来；试题2,P动则Q动，看似动一发牵全身，实则丝毫未动；试题3，动得眼花缭乱，只能动中取静，拨云见日；试题4，说动就动，抓住极限，恰到好处.以上四个类型，基本概括了立体几何动态问题的呈现方式.选取变量，用函数的观点解决立体几何的动态问题，是最经典的处理方法.当然，可以先运用几何直观和空间想象来感知变化着的位置关系,后用逻辑推理和数学运算进行论证求解，让不同层次的2023年第10 期学生得到不同的发展.教师对立体几何动态问题的不抛弃，学生才能不放弃.在目标多元、方式多样、重视过程的评价体系下，学生获得更多的成功体验，以更大的热情投入到立体几何动态问题的研究中，直观想象、逻辑推理、数学运算素养得到进一步提升.参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2 0 2 0 年修订）M.北京：人民教育出版社，2 0 2 0.2刘护灵,罗晓斌.画图与分析能力并重 J.中学数学教学,2 0 19(6):6 0 -6 2.(上接第6 4页）在进行三角函数的解题过程中,可以将三角函数问题转化为函数问题,利用相应的函数关系对函数进行有效的变形,再结合三角函数中存在的特殊性将三角函数进行简化处理，进而对三角函数问题进行判断，实现对问题的解决，4 巧用 sin+cos=1例4（2 0 10 年北京卷第15题已知函数f(x)=2cos 2x+sin?x-4cos x,(1)求(T3的值；（2）求（）的最大值和最小值.分析:通过对函数 f(x)=2cos 2x+sin x-4cos x进行分析，可以发现组成函数的部分主要包括cos 2x,cosx和 sinx,所以在解题的过程中需要将函数进行转换.根据sinx+cosx=1,cos2x=2cosx-1,将原函数转化成f()=33xER,实的解答提供一定的帮助.现对问题的解答.解析：（1）因为 sinx+cos=1,cos 2x=2cos-1,所以原函数f(x)可变形为f(x)=2(2cos-1)+(1-cos x)-4cos =2)2_73cos x-4cos x-1=3(cos x-3）3xeR,TT2127所以于=3cOS333227179331234(2)因为f(x)=3 cOS X-368_数之友-1,1,所以,当cosx=-1时,函数f(x)有最大值,最大值为6;213当cos=时，函数f（x）有最小值，最小值为7点评：本题将函数f()转化成cos的方式来表示,得到f(x)=3(cos x-33xeR,这样就能够对具体的值和最大值、最小值进行计算.5结语综上所述，本文通过高考试题来对三角函数的解题技巧进行了详细的说明,合理利用三角函数的相关定义和公式是三角函数解题的关键，巧用三角函数的相关关系以及三角函数的函数性质能够实现2）？_7cOS x32273*E R,cs x E三角函数问题的解决.希望能够对三角函数相关问题参考文献：1 刘思言.浅谈高中数学中三角函数的解题技巧-以三角函数的图象与性质为例 J.中学生数理化：学习研版，2017(7):17.2 陈宝凤.强化高中数学三角函数解题技巧和思路的策略分析 J.考试周刊,2 0 2 2(2 7)：7 0-7 3.3徐丽.高中数学三角函数的解题技巧之我见 J.求32知导刊,2 0 19(3 8):8 2 8 3.【4阿依古丽艾山.高中数学三角函数解题方法与技巧分析 J.读与写,2 0 2 0,17(15)：17 7.5刘冰钒.高中数学三角函数解题方法研究 J.科技风,2 0 17(3):17 8.