敢于2010年高考数学广东卷试题及答卷分析及若干建议.doc

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重基础 重能力 重应用 重创新
--- 2010年高考数学广东卷试题和答卷分析及若干建议
华南师范大学附属中学（510630） 李兴怀
通过高考阅卷和对高考试题的的深入分析，我们可以看到，2010年普通高考数学广东卷（以下简称广东卷）的命题严格遵循了《考试大纲》和《考试说明》的要求，充分体现了数学新课程标准的核心理念，对中学数学教学实施素质教育起到了很好的引导作用。本文在对今年广东高考数学试卷和试题进行全面分析的基础上，结合考生在答卷中暴露出的主要问题，对中学数学教学提出一些建议。
1、试卷综述
1.1 实行文理分科命题，尊重学生的个性选择，符合中学数学教学的实际。
2010年普通高考数学广东卷继续实行文理分科命题和制卷，根据文科与理科考生在数学教学上的不同要求，在知识与能力的考查上有所区别。今年的广东文、理卷，除了少量试题相同或相似外，绝大部分试题都是不同的。相同的题目有：文理科的第3题（函数的奇偶性）、第4题（数列）、文科的第9题和理科的第6题(三视图)，文理科的第19题（线性规划）；相似的问题有：文理科的第1题（集合运算），文科的第2题与理科的第9题（对数函数的定义域），文科的第5题与理科的第10题（向量的坐标表示及运算），文科的第6题与理科的第12题（解析几何中圆的切线），文科的第8题与理科的第5题（充要条件的判断），文科的第11题与理科的第13题（算法与程序框图），文科的第13题与理科的第11题（用正弦定理和余弦定理解三角形），文理科中的第18题（立体几何中垂直关系的证明、角与距离的计算）。在类似问题中，一般而言，文科题目比理科题目容易一些。这样的命题方式，既符合中学数学教学的实际，又便于对文理科学生的数学水平进行科学评价。
1.2注重对数学基础知识的考查，引导学生从概念和原理出发解题，符合数学教学的基本规律。
试卷紧密结合广东实施新课程标准实验的教学实际和课程标准的基础性要求，重视对中学数学基本概念和基本原理的考查。试卷对高中数学中涉及到的函数与方程、数列与不等式、三角函数与恒等变形、解析几何与立体几何、概率与统计、复数与向量、极坐标与线性规划、导数与算法、集合与简易逻辑等重要的数学知识都进行了全面的考查。同时对初中的数学基础知识也进行了适度考查，如特殊角的三角函数值、锐角三角函数、一元二次方程的求解、绝对值、平面几何中的重要定理等。
1.3.注重对数学基本能力的考查，引导学生独立思考，有助于学生综合素质的提高。
中学数学基本能力主要包括：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、推理论证能力、数据处理能力。除了基本能力，中学数学能力还包括：数学阅读能力、数学交流能力、数学实验能力、数学作图能力、数学探究能力、数学建模能力等等，2010年的广东数学卷对这些数学能力都进行了全面考查。
1.4 注重对数学思想与数学方法的考查，引到学生深刻认识数学的本质，有助于提高学生学习的兴趣。
数学思想是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识。在中学数学解题中主要运用的数学思想有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想等。中学数学方法主要包括：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等。这些思想与方法在今年的广东高考数学试卷中都得到了充分的渗透和体现。如文理科的第20题、21题都要用到分类与整合的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想及分析与综合的方法、比较与类比的方法等。
1.5注重应用意识与探究能力的考查，引导学生关注生活、关注社会、勇于探究、乐于钻研，有助于数学优秀人才脱颖而出。
今年的广东数学试卷，不论是文科试卷还是理科试卷都设置了一定数量的应用问题和难度较大的推理论证问题。应用问题具有实际背景，贴近考生生活实际、具有时代气息。如与城市居民用水有关的算法问题、与城市居民家庭年平均收入支出有关的统计问题、与年龄有关的普通百姓收看不同类型电视节目的统计分析问题、与儿童营养餐最优搭配有关的线性规划问题、与食品厂自动包装流水线生产有关的概率统计问题、与广州亚运会广告宣传彩灯闪烁有关的组合计算问题，这些问题都与学生的日常生活紧密相关，有助于激发学生学习数学的兴趣。今年的广东数学试卷在文科和理科试卷中各设置了两道压轴题，这些题目对学生的能力要求较高，有助于学生探究能力的培养，有助于优秀人才脱颖而出，突出了高考的选拔功能。
1.6 整卷的语言、图形、文字叙述准确，试题背景新颖，有利于考生真实水平的发挥。
今年的广东数学试卷，图文并茂，布局合理，难易搭配适当，卷面活泼、美观，增加了考试的亲和性，提高了考生应试的兴趣，降低了紧张的考试氛围对考生正常发挥水平的影响。试题陈述准确、简明、严谨，阅读量适当，有助于学生理解题意并正确解题。试题背景新颖，切合考生的认知水平和经验，确保了考试的公平与公正。
2、试题特点与学生答卷情况分析
2.1理科试题特点与学生答卷情况分析
2.1．1理科选择题特点与学生答卷情况分析
第1题：主要考查集合的概念及其运算。
第2题：主要考查复数的概念及其运算。
第3题：主要考查指数函数的概念及其函数奇偶性的判定。
上述三题都属于容易题，计算量很小，重在考查数学的基本概念。
第4题：主要考查等比数列、等差数列的基本概念和性质以及等差中项、等比数列前n项和公式，同时考查学生的运算求解能力和初中解二元方程组的知识。此题比前三题的难度、综合性有所增加，对考生的注意力也有较高要求。在求时，既可以来求，也可以用来求。
第5题：主要考查简易逻辑中的命题、充要要条件、一元二次方程的有关知识，概念性强、运算量小，但容易出错。有的学生对充分条件与必要条件常常混淆。
第6题：主要考查三视图的画法和识图能力、观察能力，属容易题。
第7题：主要考查正态分布的基本概念，这部分内容比较抽象，理解起来比较困难，估计有一部分同学对这题无从下手，也可能由于计算不细心导致错误。
第8题：主要考查排列组合的概念与计算方法及数学阅读理解能力，是一道背景新颖的应用题。解决本题的关键是正确理解题意，抽象概括出数学模型，运算量并不大，但可能有一部分学生由于对“一个闪烁”、”相邻两个闪烁”、“有且仅有一个”等词语理解不正确而导致解答错误。这应该算作难度较大的问题，在选择题中起到了“压轴”的作用。
2.1．2理科填空题特点与学生答卷情况分析
第9题：主要考查对数函数的定义域。正确答案应为：
。但有不少学生填为：; ; ; 等。说明对集合的表达方式掌握不准确。这道题改为选择题可能比较好。
第10题：主要考查空间向量的直角坐标表示和向量的运算，概念性强，运算量小，属容易题。但在计算上要细心，否则容易出错。
第11题：主要考查正弦定理、余弦定理或勾股定理、锐角三角函数在解三角形中的应用，此题有多种解法，正确率比较高。但也有学生填成
等。
第12题：主要考查直线与圆的位置关系、圆的切线、点到直线的距离公式和运算求解能力。正确答案为：。但有不少学生填为：，，，，等。答案五花八门，说明学生对圆的方程和圆的切线掌握的不好。
第13题：主要考查算法和程序框图的基本知识，属于容易题，运算量比较小，也有不少学生得到3这样的错误答案。产生错误的主要原因是审题不认真，看错字母，计算不细心。
第14题：主要考查圆的有关知识，如垂径定理、相交弦定理等。此题的正确答案为：；但有不少同学填为等，而造成丢分。这道题把字母a换为1或改为选择题可能会大大减少学生的失误。
第15题：主要考查极坐标的基本概念，直线与圆的极坐标方程、直角坐标与极坐标的互换等。正确答案为，但有不少同学填为，，，，等，这说明学生对极坐标的学习很不扎实。
第14题和第15题是二选一的选做题，答卷中出现了勾选第14题而答第15题的情况，而且这种情况有一定的数量。建议在制卷时分别给第14题、第15题不同的答题区域。
2.1．3理科解答题的特点与学生答卷情况分析
第16题：主要考查三角函数的基本性质、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的关系、最小正周期等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力。在解答题中属于比较容易的问题。但也有不少同学不理解最小正周期的定义与计算方法，导致一开始就产生错误，有7.3%的学生的零分。
第17题：本题主要考查频率分布直方图、超几何分布、二项分布、组合计算等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识。本题在解答题中属于比较容易的常规问题，2009年广东卷也出过类似的问题，本题的得分率是六道解答题中最高的。但也有不少同学由于相关概念不清晰、阅读能力和识图能力弱产生错误。
第18题：本题主要考查线线、线面、面面的位置关系、空间角和距离的概念、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。这道题中加入了半个圆，使得试题背景新颖。第一问是证明两条异面直线垂直，第二问是求一个无棱二面角的的正弦值。大部分考生对这道题能够入手解决。第一问多数学生采用传统几何的方法来做，第二问多数学生采用建立空间直角坐标系、借助向量运算的方法来完成。考生在解答本题中存在的主要问题是推理不严谨、表述不清晰、书写不规范，把立体几何问题转化为平面几何问题的能力弱。
第19题：本题主要考查直线、不等式、不等式组、线性规划等知识，考查数形结合的思想方法，以及运算求解能力和数学建模的能力。本题难度适宜，计算量适中，本题主要的解题方法是图解法。考生在答卷中存在的主要问题是：题意理解不准确、约束条件写错、建模能力弱、可行域画错、解题过程不规范。有13.4%的考生得零分。
第20题：本题主要考查双曲线、椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系及曲线方程的有关知识，考查化归与转化、函数与方程、数与形结合、分类与整合的数学思想方法；考查推理论证能力、运算求解能力与数学探究能力，是一道难度较大的综合问题，对考生的数学素养要求较高。本题有52.8%的考生得零分，平均分只有1.47分。考生在答卷中存在的主要问题是：①概念出错：把顶点坐标写成焦点坐标，如写成，；②题意理解出错：把两点坐标对调了：,；③忽视了方程的等价变换,大部分考生第一问都没有挖掉椭圆的四个顶点。第（2）问应分三种情况讨论，但有能力做这道题的考生往往漏掉一种或两种情况。本题第（1）问和第（2）问的关联度很强，一旦第（1）问做错，第（2）问得分的机会就很小。
第21题：本题主要考查直线方程、绝对值、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般、数形结合的数学思想方法，以及阅读理解能力、数学探究能力、推理论证能力、问题解决能力和创新意识。本题是难度较大的综合性问题，抽象程度高。这道题的平均分只有2.1分，有51%的考生得零分。此题的命制对中学数学教学有很好的指导意义。只有在教学中对数学思想方法进行不断的渗透，才能带来良好的教学效果，对防止“题海战术”起到了积极的作用。这道题实际上是以《不等式选讲》（人教A版，选秀4-5）课本上的一个定理及其推论为载体设计的。这个定理及其推论分别是：
定理 设a,b为实数，则，当且仅当时，等号成立。
推论 如果a,b,c是实数，那么，当且仅当
时，等号成立。
2.2文科试题特点与学生答卷情况分析
2.2．1文科选择题特点与学生答卷情况分析
第1题：主要考查集合的概念及其运算。与理科第1题类似，难度有所降低。
第2题：主要考查对数函数的定义域。与理科第9题类似
第3题：主要考查指数函数的概念及其函数奇偶性的判定。与理科第9题相同。
第4题：主要考查等比数列、等差数列的基本概念和性质以及等差中项、等比数列前n项和公式，与理科第4题相同。
第5题：主要考查平面向量的直角坐标表示和向量的运算，概念性强，运算量小属容易题。与理科第10题类似。
第6题：主要考查直线与圆的位置关系、圆的切线、点到直线的距离公式和运算求解能力。与理科第12题类似。
第7题：主要考查椭圆离心率的计算以及等差数列的概念。
第8题：主要考查简易逻辑中的命题、充要要条件，概念性强、运算量小，但容易出错。
第9题：主要考查三视图的画法和识图能力、观察能力，属容易题。与理科第6题相同。
第10题：主要考查学生的阅读理解能力。本题是在给定两个新定义运算的前提下，计算一个表达式的值，题目新颖，但过于简单。
2.2．2文科填空题特点与学生答卷情况分析
第11题：主要考查算法与程序框图基本知识。
第12题：主要考查统计初步中中位数及相关关系的有关知识，本题第一问太容易了，第二问争议比较大。
第13题：主要考查解三角形的有关知识。
第14题：主要考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等平面几何知识。
第15题：主要考查极坐标的基本概念，直线的极坐标方程、直角坐标与极坐标的互换等。与理科第15题类似。
2.2．3文科解答题特点与学生答卷情况分析
第16题：主要考查三角函数基本性质、同角三角函数的基本关系、诱导公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力. 考生在解答中存在的主要问题是：（1）诱导公式记错：(2)特殊角的三角函数值记错。本题有些过于简单，分值偏大。
第17题：主要考查独立性检验、分层抽样方法、概率计算等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识。有些考生对分层抽样的抽样法理解不透；对概率计算过程写的不够仔细。
第18题：与理科第18题类似。
第19题：与理科第19题相同。
第20题：主要考查二次函数及其性质、函数的最大值与最小值、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思想与方法，以及抽象与概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识。本题平均分只有1.1分，绝大多数考生对本题缺乏解题思路。
第21题：本题主要考查抛物线、切线方程、不等式、点到直线的距离和导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和数学探究能力.本题平均分只有1.2分。说明考生运用所学知识解决综合题的能力比较弱。本题第（3）问 的关键步骤是将要证明的不等式
转化为证明下列两个不等式和同时成立即可，而前者正是《不等式选讲》（人教A版）习题2.3第3题，后者与该课本“综合法与分析法”一节中的例3类似。这道题命的非常好，难而不偏，新而不奇。
2.3试题难度分析
文科题号
文科难度
理科题号
理科难度
11-13
0.63
9-13
0.75
14-15
0.77
14-15
0.67
16
0.66
16
0.82
17
0.78
17
0.66
18
0.41
18
0.53
19
0.41
19
0.64
20
0.08
20
0.11
21
0.08
21
0.14
整卷
0.54
整卷
0.63
由上表可以看出，今年的广东数学卷，基础题所占比重较大，难度有所降低，平均分有较大提高。但也有难度分布不均匀的问题 ，如没有难度介于0.15至0.40的问题，如能增加中等难度的问题，适当降低压轴题的难度，可能会大大提高试卷的信度、效度和区分度。
3．学生答卷中暴露出的主要问题
通过评阅数学高考试卷，我们感觉到广东的中学数学教学在贯彻新课程标准的核心理念方面迈出了坚实的步伐，取得了显著的成绩，但也暴露出许多方面的问题。主要问题有：（1）部分考生数学基础知识掌握不扎实，数学概念理解不深入，推理论述不严密。（2）部分考生审题不到位，答题不规范，运算能力弱，解题过程不完整。（3）部分考生语言表达能力差，缺乏解决数学应用问题的能力，运用数学思想方法的意识较差，独立思考能力弱，运用有关数学知识和方法解决综合问题的能力不强。
4．对中学数学教学的启示
通过对今年广东数学高考试卷的评阅与分析，我们认为中学数学教学要注意以下几方面的问题：（１）要重视基础，回归课本，突出数学基本概念和基本原理的教学，注意数学各部分知识之间的衔接与联系，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质。（2）倡导积极主动、勇于探索的学习方式，切实提高学生独立获取知识的能力和独立思考的能力。（3）突出数学思想与方法的教学，注重提高学生的数学思维能力。（4）强化学生的数学应用意识和探究意识，加强数学与日常生活及其他学科的联系，拓展学生的视野，使他们深刻体会数学的应用价值。（5）培养学生的数学阅读能力和自学能力，使学生养成认真审题、规范作答、认真书写、严谨推理、仔细检查的良好习惯。

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