第十八章-勾股定理知识要点与巩固练习.doc

第十八章　勾股定理
知识要点
1、勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方
即：两条直角边分别为、，斜边为，那么一定有
公式变形：
2、勾股定理的适用范围：直角三角形
3、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边；
②已知直角三角形一边与另外两边的关系，求直角三角形的另两边。（折叠问题）；
③利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
4、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为、，，且满足，则这个三角形是直角三角形。
5、如何利用勾股定理逆定理去判定一个三角形是直角三角形
①先确定最大边（如）；
②验证与是否具有相等关系；
③若，则是以为直角的直角三角形；若，则不是直角三角形
6、勾股数
满足的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数：（1）3,4,5 （2）5,12，13 （3）6,8,10 （4）8,15,17
（5）7,24,25 （6）9,40,41

练习（一）
一、选择题
1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长
（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm
3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

5. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5

6、已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，于E，于F，如果AB=3，AD=4，那么（ ）
（A） （B）＜＜
（C） （D）＜＜

7.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.
（A）12 （B）7 （C）5 （D）13

8、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）.
A
B

（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定

二、填空题
1. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.

2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.

3. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

5. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______.

6. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.

三、解答题
1、 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

2、 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

3、如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．

4、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
A
B
C
D

练习（二）
一、选择题
1、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
2、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5 B、25 C、7 D、15
3、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、②④
4、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
5、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
6、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对

二、填空题
1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
2、如图所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

3、一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.　
4、在△ABC中,若△ABC的面积等于6，则边长c=
5、如图，在，,分别以各边为直径作半圆，则阴影部分面积为

三、解答题
1、已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形。

2、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

3、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？

A
A′
BA
A′
OA

4、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是，满足.试判断△ABC的形状.

5、阅读下列解题过程：已知为△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状.
解：∵，(1)∴，(2)∴c2=a2+b2，（3)∴△ABC是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；
②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.