彰显平面几何魅力的一道联赛题.pdf

2023年第2期河北理科教学研究问题讨论2021 年全国高中数学联赛第 5 题：在ABC中，AB1，AC2，B-C23，则ABC的面积为命题者提供的参考答案.解：由正弦定理知sinBsinC=ACAB=2，又B-C23，故2sinC=sinB=sin(C+23)=-12sinC+32cosC，即52sinC=32cosC，所以tanC=35，记ABC的面积为S，注意到AB-C3-2C，故S12ABACsinA=sinA=32cos2C-12sin2C，由tanC=35知cos2C=1-tan2C1+tan2C=1114，sin2C=2tanC1+tan2C=5 314，从而S321114-125 314=3 314评注：此解法从三角形面积计算公式S12absinC出发，连续使用了5个三角公式，最终求得结果，无需几何图形，侧重三角函数，符合高中生的数学思维习惯这道联赛题中的23120，进而BC120，对初中生而言，解题思路会是什么？借助图形可以考虑构造B与C的差，产生特殊角120，再构造直角三角形求解，彰显平面几何的魅力解法 1：如图 1，在AC上取点D，使得DBCC，则CDBD，ABD120，作DHAB，垂足为H，设BHx，则CDBD2x，DH 3x，AD22x，在RtDAH中(2-2x)2=(3x)2+(1+x)2，解得x=310，所以AD=75，DH=3 310，所以SBDA=12ABDH=1213 310=3 320，因为AD=75=710AC，所以SABC=107SBDA=3 314解法 2：如图 2，在AC上取点D，使得ABDC，则DBC120，作CHDB，垂足为H，则CBH60，所以BC2BH，CH 3BH，因为DABBAC，ABD彰显平面几何魅力的一道联赛题江苏省南京市金陵中学河西分校 李玉荣 210019摘 要：本文对一道全国高中数学联赛题进行深度解析，给出了七种几何解法，显示出作者的独到见解.关键词：平面几何；三角形；联赛题ADCBH图1 202023年第2期河北理科教学研究问题讨论C，所以DABBAC，可得BDBC=ADAB=ABAC=12，设BDx，则BC2x，BHx，CH=3x,AD=AB2AC=12,CD=2-12=32，在RtDCH中(2x)2+(3x)2=(32)2，即x2=928，所以SBDC=12BDCH=12x3x=32x2=9 356，因为CD=32=34AC,所以SABC=43SBDC=3 314评注：这两种解法是利用三角形的内角作差构造120的角解法3：如图3，在AB延长线上取点D，使得ADCACB，则BCD120，作DHBC，垂足为H，则DCH60,所以CD2CH，DH=3CH，因为DACCAB，ADCACB,所以DACCAB，可得BCCD=ACAD=ABAC=12，设BCx，则CD2x，CHx，DH=3x，AD=AC2AB=4，BD=4-1=3，在RtDBH中，(2x)2+(3x)2=32，即x2=97，所以SBDC=12BC DH=12x3x=32x2=9 314，因为BD3AB，所以SABC=13SBDC=3 314解法4：如图4，在CB延长线上取点D，使得ADCC，则ADAC2，BAD120，作BHAD，垂足为H，则BAH60，所以AH=12AB=12,BH=32AB=32，在RtDBH中，DB=(52)2+(32)2=7，作AEBD，垂 足 为E，易 证DAEDBH，所 以AEBH=DEDH=ADDB，即AE32=DE52=27，所以AE=217，DE=5 77，进而BE=2 77，BC=3 77，所以SABC=12BCAE=123 77217=3 314解法5：如图5，在CB延长上取点D，使得BADC，则ADB120，因 为ADBCDA，所以ADBCDA，所以DBAD=ADCD=ABAC=12，设DBa，则AD2a，CD4a，进而BC3a，CH5a，作AHBC，垂足为H，则ADH60，所以DH=12AD=a，AH=32AD 3a，在RtACH中，(3a)2+(5a)222，可得a217，所以SABC=12BCAH123 3a2=3143解法6：如图6，在AB延长线上取点D，使得BCDACB，则BDC120，BDCD=ADBHC图2ABDCH图3HADEBC图4AHDBC图5(下转第29页)212023年第2期河北理科教学研究问题讨论(a,b,c0)，则左边=|z1+|z2+|z3|z1+z2+|z3=|(a+b+c)+(a+b+c)i=2(a+b+c).7几何代换例 9若x+2+y-5=6，则x+2y的最小值是32.解析：设x+2=uy-5=v，则u0v0u+v=6,可知点(u,v)在一段线段（设为AB）上，则令t=x+2y=2v2+u2+8，即u2+2v2=t-8，其几何意义是交点在u轴上，中心在原点的动椭圆，故点(u,v)既在椭圆上又在线段AB上.当椭圆与线段AB相切时，t取最小值，即u2+2v2=t-8u+v=6，消去u得3v2-12v+44-t=0.由椭圆与线段AB相切得上式=0时，即t=32，此时tmin=32.ABAC=12，设DBa，则CD2a，作CHAB，垂足为H，则CDH60，所以DH12CD=a，CH=32CD=a，进 而AH2a+1，在RtACH中，(3a)2+(2a+1)222，可得a37（舍去负值），所以CH373，所以SABC=12ABCH=1213733143评注：这四种解法是利用三角形的外角作差构造120的角解法 7：如图 7，作等腰梯形ABCD，使得ADBC，DCBABC，则CD=AB=1，ACD120，作DHAC，垂足为H，则DCH60，所以CH=12CD=12，DH=32CD=32，在RtADH中，AD=(52)2+(32)2=7，作BMAD，CNAN,垂 足 分 别 为M、N，由 面 积 公 式 得ADCN=ACDH，所以CN=37=217，进而AM=DN=12-(217)2=2 77，BC=MN=7-2 772=3 77，所以SABC=12BCCN=123 77217=3 314评注：这种解法是借助等腰梯形产生两角的差构造120的角上述 7种解法构造 120的角之后都需作垂线借助直角三角形求解，略显繁琐，只是为了回避高中数学知识余弦定理对比解法发现，用高中知识求解无需画图，方法单一；而用初中知识求解必须画图，解题的思路更开阔.不是所有数学问题都要通过画图来解决，但有时恰当地画出图形，对问题解决会起到“四两拨千斤”的作用.ACBDH图6(上接第21页)ABMNCDH图7 29