章动式双圆弧螺旋锥齿轮齿面曲率与运动特性研究.pdf

第 卷第 期 年 月机 电 工 程 .收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目()福建省产学合作项目()作者简介:曾益()男江西吉安人硕士研究生主要从事齿轮弹流润滑分析方面的研究:.通信联系人:潘伶女博士教授硕士生导师:.:./.章动式双圆弧螺旋锥齿轮齿面曲率与运动特性研究曾 益潘 伶尹志强张 俊(福州大学 机械工程及自动化学院福建 福州)摘要:为了准确评估章动式双圆弧锥齿轮副两处啮合区域之间的啮合特点和差异对表征齿轮传动质量好坏的曲率和相对运动参数进行了理论计算研究 首先基于齿轮空间啮合原理推导了双圆弧内、外锥齿轮的齿面参数方程接着在此基础上建立了章动传动啮合坐标系采用齿面接触分析()方法得到了无装配误差情况下接触点的运动轨迹然后根据微分几何理论推导出了接触点处各类曲率和速度的数学表达式并根据赫兹()弹性接触理论确定了齿面接触区形态最后采用算例分析了接触点的主曲率、诱导法曲率、卷吸速度、相对滑动速度和滑滚比等变化趋势及其反映的特性 研究结果表明:椭圆长轴方向诱导法曲率接近 短轴方向诱导法曲率绝对值较小由齿面公法矢量方向可知两啮合区域在传动过程中不发生曲率干涉现象且具有良好的接触强度相对滑动速度远小于卷吸速度这有利于减小磨损两区域的滑滚比均趋近 表明传动接近纯滚动瞬时接触点和齿面接触区均位于啮合齿面中部并沿整个齿宽方向分布有限元结果与理论计算结果一致 该研究结果可为章动式双圆弧锥齿轮的弹流润滑和磨损分析提供理论基础关键词:齿轮传动双圆弧齿廓章动传动齿面接触分析诱导法曲率滑滚比啮合特性中图分类号:.文献标识码:文章编号:()():.().:()引 言章动式双圆弧锥齿轮是一种将双圆弧锥齿轮应用在章动传动上的新型齿轮它同时具备双圆弧齿廓高承载、易润滑的特性以及章动传动结构紧凑和大传动比的优点在精密减速器领域拥有广阔的应用前景内啮合锥齿轮是章动齿轮传动机构的关键部件其齿轮副的传动性能主要由锥齿轮的齿廓形状决定 相较于传统的渐开线齿廓双圆弧齿廓采用两对凸、凹齿面相啮合的传动方案极大提高了齿面的接触强度因此受到了国内外学者的广泛关注李进宝从共轭齿面形成原理出发基于加工机床和刀具参数推导了双圆弧弧齿锥齿轮的齿面方程简要分析了啮合齿面的两种曲面类型 姚俊红等人进行了双圆弧弧齿锥齿轮的实体建模及动态啮合模拟分析了不同参数和误差对齿面几何形态的影响 等人对双圆弧斜齿轮进行了齿面接触分析()确定了啮合齿面上的接触迹线并根据接触点的曲率参数得到了接触椭圆的尺寸和方向 等人运用 方法研究了双圆弧弧齿锥齿轮的啮合传动特性发现了其理论分析结果在一定程度上与试验相符 等人对 种不同横向压力角组合的双圆弧斜齿轮进行了啮合仿真有限元结果表明最佳压力角能有效降低齿轮圆角处的最大弯曲应力上述文献研究的双圆弧齿轮传动形式是外啮合传动该传动方式的应用目前已相当成熟但由于复杂的齿轮空间结构和齿轮副难以展成加工等原因内啮合传动研究进展缓慢目前内啮合传动主要有两个研究方向:)双圆弧谐波齿轮传动)双圆弧锥齿轮章动传动 前者聚焦于公切线式双圆弧齿廓参数的优化设计促使谐波齿轮获得更好的啮合性能后者采用标准分阶式双圆弧齿形作为锥齿轮的基本齿廓在三维精确建模、有限元仿真和样机试验方面取得了一定的进展需要指出的是尽管笔者课题组前期已采用有限元法得到了章动式双圆弧锥齿轮的齿面接触区分布但缺乏理论计算角度的分析因此还需要对齿面接触点的曲率参数进行系统推导而诱导法曲率、相对运动速度和滑滚比是评价齿轮传动性能的重要指标同时也是齿轮弹流润滑分析和齿面磨损研究中的重要影响因素这些参数无法采用有限元法获得因此有必要从理论层面对章动式双圆弧锥齿轮在啮合过程中的曲率变化和运动特性进行深入研究笔者拟在通用齿面数学模型的基础上开展内啮合双圆弧螺旋锥齿轮章动传动齿面接触分析()研究其在无安装误差下的接触轨迹根据微分几何理论分析各接触点处曲率的变化趋势和相对运动情况最后分析齿面接触区域以期为后续研究奠定基础 齿面数学模型的建立笔者课题组前期已经成功建立章动内、外锥齿轮的通用齿面参数模型其主要建模思想为:根据共轭齿廓互为包络线的原理可以由一个假想的冕齿轮得到内、外锥齿轮齿面可将标准双圆弧齿形沿实际齿向线扫掠生成冕齿轮的基本齿廓曲面/标准规定的基本齿形标准双圆弧齿形如图 所示图 标准双圆弧齿形标准双圆弧齿形分别由凸圆弧、过渡圆弧、凹圆弧和齿根圆弧组成 为明晰各段圆弧的位置关系笔者在图 中建立直角坐标系()在该直角坐标系中轴位于齿厚的对称线上轴位于齿形的节线上则第()段圆弧上任意点 的坐标在坐标系 中可表示为:()式中:()为第 段圆弧的圆心坐标为第 段圆机 电 工 程第 卷弧的圆弧半径为第 段圆弧上点 的向径同 轴正向的夹角(定义逆时针方向为正)笔者选用对数螺旋线作为冕齿轮的公称齿向线可保证线上各点的螺旋角 不变 在此基础上为使齿廓符合等强度原则笔者需调整公称齿向线以获得实际齿向线齿向线调整示意图如图 所示图 齿向线调整示意图图 中为公称齿向线可用极坐标方程()来描述和 分别为调整后的左、右实际齿向线齿向线在冕齿轮节锥面坐标系()中可表示为:()(/)()()(/)()()式中:为 代表左齿廓 代表右齿廓为齿厚(槽)宽 表示凸圆弧齿厚宽 表示凹圆弧齿槽宽为调整过程中的转角笔者将双圆弧齿形分别沿左、右实际齿向线扫掠即可得到冕齿轮在坐标系 中的齿面方程:()式中:为坐标系 到坐标系 的变换矩阵笔者建立内锥齿轮、外锥齿轮和冕齿轮的啮合坐标系利用空间啮合原理对冕齿轮齿面方程进行坐标变换推导出内、外锥齿轮的曲面族参数方程:()式中:为外锥齿轮和内锥齿轮 代表外锥齿轮 代表内锥齿轮为坐标系 到坐标系 的变换矩阵式()中的曲面族方程 由齿向线参数、齿形参数 和冕齿轮啮合转角参数 共同确定根据齿轮啮合原理内、外锥齿轮的齿面参数方程还需满足如下啮合方程:()式中:为冕齿轮齿面的单位法矢为冕齿轮与锥齿轮在啮合点的相对速度矢量整理式()后可得到参数()的表达式至此内、外锥齿轮齿面方程经过简化由双参数和 统一表示如下:()()章动式双圆弧螺旋锥齿轮 螺旋锥齿轮齿面属于点接触共轭曲面在无载或轻载情况下相互啮合的齿面间理论上只形成一个瞬时接触点 随着传动的进行各瞬时接触点的轨迹构成一条接触迹线 双圆弧齿廓同一轮齿侧面在啮合过程中会出现双点接触因此存在上、下两条接触迹线笔者采用 方法来确定这两条接触迹线章动齿轮传动本质上是一种锥齿轮少齿差行星传动常见的单级锥齿轮章动传动往往由固定的内锥齿轮和同时作自转与摆动运动的外锥齿轮组成 因此在进行 前笔者需根据相对运动原理将周转轮系转化为定轴轮系此时可认为内、外锥齿轮只绕自身轴线转动根据这一原理笔者建立内、外锥齿轮章动传动啮合坐标系如图 所示图 章动齿轮传动啮合坐标系在不考虑装配误差的情况下笔者分别引入内、外锥齿轮的固定坐标系()和()用以描述两者的相对运动关系 其中旋转坐标系 和 仍固连在对应齿轮上各坐标原点与节锥顶点重合 啮合过程中外锥齿轮从起始位置 绕 轴旋转 角度到达 内锥齿轮从起始位置 绕 轴旋转 角度到达 假设 为全局固定坐标系则此时内、外锥齿轮齿面接触点的径矢和单位法矢在 坐标系中表示第 期曾 益等:章动式双圆弧螺旋锥齿轮齿面曲率与运动特性研究如下:()()()()()()()()()()()()()式中:为坐标变换矩阵 的前三阶子矩阵其中()()()()()()()()()()()()()()()/()式中:为锥齿轮齿面单位法矢对于凸齿面其方向是由空域指向实体对于凹齿面则相反啮合过程中的齿轮副要想连续相切接触必须满足一个条件即在某一固定坐标系下两齿面瞬时公共接触点处的位置径矢 和单位法矢 相等即:()()()()()()()()()式()中包含 个未知参数由于单位法矢()()恒成立故上式实际只能列出 个独立方程在理论上所有接触点中存在一个计算初始点使得齿轮副在该点处满足瞬时传动比等于理论传动比通常该点位于啮合齿面的中点附近 因此首先要根据齿面旋转投影关系构造非线性方程组求解得到外锥齿轮初始点的齿面参数 和 进而利用传动比关系以及式()确定剩余的 个参数以其中的内锥齿面参数 作为已知输入量方程组在每次迭代前需要通过给定步长 对 值进行改变将新的 代入式()去计算其余 个参数的一系列解直到接触点超出齿面边界时迭代停止 齿面接触点曲率及运动参数计算啮合齿轮副共轭齿面之间的曲率和相对运动直接影响着齿面的接触区尺寸、摩擦学性能和接触强度因此笔者根据已推导的齿面方程和求解得到的接触点参数采用微分几何详细推导接触点处各类曲率参数和运动参数表达式.齿面曲率计算由梅尼埃()定理可知齿面上一点沿任意方向的法曲率可表示为:()式中:为曲面第一基本齐式系数 为曲面第二基本齐式系数第一、第二基本齐式系数可表示为:()()()()()()()()()()()法曲率反映了曲面定点在不同方向上的弯曲程度当定点参数确定时法曲率只与选择的切线方向有关 所有切线方向中存在一对互相垂直的主方向使得对应主曲率为法曲率中的最大值和最小值笔者引入 /表征切线方向令/可得主方向和主曲率的计算公式为:()()()()()()()代入接触点齿面参数后可求得内、外锥齿轮在该点处的主曲率()、()和()、()以及对应主方向()、()和()、()其中上标表示齿轮下标表示方向此时的短程挠率为零需要说明的是计算得到的主方向 和主方向 实际上与齿廓方向和齿线方向区别不大因此笔者在以下的分析中将采用后者进行表述实际啮合接触的齿轮副表面由于受到工作载荷影响会产生弹性变形形成以接触点为中心的接触椭圆其长轴方向为诱导法曲率绝对值最小的方向短轴方向为诱导法曲率绝对值最大的方向接触椭圆和主方向的位置关系如图 所示机 电 工 程第 卷图 瞬时接触椭圆和主方向图 中齿轮副在接触点 处具有共同的法矢 和切平面主方向和椭圆长短轴方向的位置关系由夹角 和 确定根据欧拉公式短轴 方向的内、外锥齿轮的法曲率()和()分别为:()()()()()()()()()()()而短轴 方向的诱导法曲率为该方向的法曲率之差可表示为:()()()()()()()()()()()式中:()()()()()根据定义长短轴方向的诱导法曲率为极值故令/即可求出:()()()()()()()()/()同理可得长轴 方向的诱导法曲率 笔者根据 弹性接触理论采用下式计算瞬时接触椭圆的长短半轴 和 即:/()式中:为载荷 为当量弹性模量为计算参数具体取值参照文献其中:()/上述所求的长短半轴 和 都是在公共切平面内的还需将其投影到齿轮的轴截面以便在齿面坐标系中进行表示 .齿轮副运动参数计算内、外锥齿轮接触点处的绝对速度矢量 在固定坐标系 中可表示为:()式中:为齿轮绕各自轴线旋转的角速度矢量沿接触椭圆长、短半轴方向的速度分量、如下:()其中长、短半轴方向的单位矢量、可根据图 得到即:()()()()()()()()()各运动速度关系如图 所示图 速度关系示意图可得到接触点处卷吸速度 和相对滑动速度 的矢量表达式:()()()()()速度矢量与椭圆长轴之间的夹角 和 为:()进而得到滑滚比 的计算公式为:()算例与分析齿轮副的基本设计参数如表 所示表 齿轮副基本参数参数/单位外锥齿轮内锥齿轮小端法向模数/.齿数 章动角/()理论压力角/()节锥角/().螺旋角/()外锥距/齿宽/传动比 第 期曾 益等:章动式双圆弧螺旋锥齿轮齿面曲率与运动特性研究 其设计参考值满足输出扭矩 输入转速为 /章动式双圆弧螺旋锥齿轮的实体样机如图 所示图 章动式双圆弧螺旋锥齿轮样机左、右实际齿向线并不相同因此轮齿左、右侧齿面的空间曲面结构存在一定差异 笔者利用 软件对上述理论计算进行编程求解因篇幅所限仅就外锥轮齿右侧齿面与内锥轮齿左侧齿面啮合的计算结果展开分析.齿轮接触特性分析外锥轮齿右侧齿面瞬时接触点的分布情况如图 所示图 外锥齿轮齿面瞬时接触点轨迹在齿轮传动中由于凸、凹齿面先后参与啮合接触均匀选取各自齿面上的 个接触点即构成图 上、下两条接触迹线 同齿面的接触点都是沿着齿宽方向由一端向另一端移动且啮入点与啮出点在齿高方向的偏移量较小基本处在计算初始点所确定的齿宽线上此外凸、凹齿面接触点对应的压力角分别为.和.同理论压力角.接近表明齿轮副在传动过程中具有良好的接触状态由于笔者采用标准双圆弧齿形作为锥齿轮的基本齿廓当模数一定时齿形的其他参数也被确定下来而不同的模数下齿形尺寸的差别较大无法放在统一的尺度下进行比较因此笔者针对描述齿向线的螺旋角参数进行影响因素分析不同螺旋角对接触迹线的影响如图 所示图 不同螺旋角下的接触迹线由图 可以看到:当螺旋角低于设计值.时接触迹线两端的齿高偏移量明显增大即接触迹线出现不同程度的倾斜使得接触区呈现一定的对角接触影响了齿轮的啮合性能且凸齿面接触迹线受螺旋角变化的影响更大 因此在设计时应尽量避免该情况的发生外凸内凹啮合齿面接触点主曲率如图 所示外凹内凸啮合齿面接触点主曲率如图 所示齿线方向主曲率()和()的绝对值均随着接触点从小端移动到大端而逐渐减小这与对数螺旋线本身的曲率特性是一致的 齿廓方向的主曲率变化幅度非常小这是因为凸、凹齿面的端面齿廓线是曲率半径恒定的圆弧曲线在数值上齿线方向对应的主曲率是所有法曲率中的极小值齿廓方向主曲率为极大值机 电 工 程第 卷图 外凸内凹啮合齿面接触点主曲率图 外凹内凸啮合齿面接触点主曲率 图 中由于极小值的主曲率()和()为正值则接触点各方向上的法曲率都为正值 这里的正、负不反映大小而表示该方向齿面的弯曲朝向与公法矢量 指向相同或相反 这意味着接触点附近齿面的弯曲方向与公法矢量 方向一致表明此处的啮合齿面类型为椭圆抛物面椭圆抛物面如图 所示图 啮合齿面曲面类型图 中齿线方向主曲率计算值为负值齿廓方向主曲率为正值而此处的啮合齿面类型为图 所示的双曲抛物面在上述接触情形下椭圆长、短轴方向诱导法曲率如图 所示图 长、短轴诱导法曲率第 期曾 益等:章动式双圆弧螺旋锥齿轮齿面曲率与运动特性研究从图()可知:整个啮合过程中长、短轴诱导法曲率皆为负值即在啮合点的任意方向上都存在对应的内锥凹面法曲率小于外锥凸面法曲率 根据文献所述的检验方法不难判断出啮合齿面在所有接触点处都不会出现曲率干涉现象图()中长、短轴方向的诱导法曲率均为正值这是因为外凹内凸啮合齿面与外凸内凹啮合齿面相反其公法矢量 方向是由实体指向空域 文献指出此时齿面不发生曲率干涉的条件为任意方向的诱导法曲率都是正值即它的两个最值也是正值与笔者的计算结果相符说明外凹内凸齿面啮合亦不出现曲率干涉现象另一方面诱导法曲率常被用来表征齿面的接触强度其绝对值越小说明齿轮传动副的抗弯曲能力越强、抗点蚀强度越高 图 中长轴方向诱导法曲率基本接近于 短轴方向诱导法曲率也处于较低水平且整体变化连续、平缓证明章动式双圆弧螺旋锥齿轮具有高承载和传动平稳的优点.齿轮运动特性分析在不失一般性的前提下为了研究啮合齿面间卷吸速度和相对滑动速度的变化规律笔者给定外锥齿轮输入转速为 /得到外凸内凹啮合齿面运动状态如图 所示图 外凸内凹啮合齿面运动状态外凹内凸啮合齿面运动状态如图 所示图 外凹内凸啮合齿面运动状态从齿轮小端到齿轮大端啮合点的卷吸速度值较大而相对滑动速度值很小两者的变化幅度不明显这有利于形成流体动压润滑并减小磨损另外卷吸速度矢量与椭圆长轴正向之间存在一定的夹角相对滑动速度矢量则与椭圆短轴方向接近文献表明随着卷吸速度与椭圆长轴夹角的增大中心油膜厚度和最小油膜厚度都将增大 因此外凸内凹啮合齿面的润滑性能要优于外凹内凸啮合齿面齿轮副在接触点处的运动特性如图 所示图 不同螺旋角下的齿面滑滚比机 电 工 程第 卷无论是外凸内凹啮合还是外凹内凸啮合整个传动过程中齿面滑滚比的值趋于 且变化缓慢这表明章动式双圆弧螺旋锥齿轮在工作时接近于纯滚动运动即由相对滑动引起的齿面磨损很小且相对均匀另一方面随着螺旋角的增大外凹内凸啮合的齿面滑滚比逐渐减小而外凸内凹啮合的齿面滑滚比在设计值.时最小 在相同螺旋角下外凸内凹啮合的齿面滑滚比始终要小于外凹内凸啮合表明外凹内凸啮合齿面的传动质量更好.齿面接触区域确定均布载荷作用下得到的齿面接触区域如图 所示图 中各点所受载荷 皆为 当量弹性模量 取.由图 可知:线框所围成的长条矩形区域即为双圆弧螺旋锥齿轮章动传动齿面接触区由一系列以理论接触点为中心的瞬时接触椭圆共同形成同齿面各处椭圆长、短轴在大小和方向基本保持一致图 外锥轮齿齿面接触区 其中凸、凹齿面接触椭圆的长轴大小分别为.和.偏离齿宽方向约 .和.短轴大小分别为.和.偏离齿高方向约.和.因此矩形接触区长度取决于齿宽尺寸宽度则主要取决于椭圆短轴的大小负载扭矩 工况下齿面接触应力的有限元结果如图 所示图 外锥轮齿有限元接触应力分布 图 表明:在一个啮合周期内单侧轮齿齿面将经历从单点接触到双点接触的相互转换从而形成两处接触区域接触椭圆均沿着齿宽方向由一端向另一端移动尽管椭圆接触区域的大小随着载荷变化而改变但方向始终近似平行于齿宽且仍位于凸、凹齿面的中部这与数值计算结果十分吻合 结束语笔者认为明晰齿轮副啮合过程中的曲率变化和运动情况是进行齿轮弹流润滑分析和齿面磨损研究的前提 因此鉴于有限元法的局限性笔者采用理论模型分别对章动式双圆弧锥齿轮两工作齿面开展了曲率和运动特性研究得到的结论如下:)诱导法曲率在椭圆长轴方向接近于 在椭圆短轴方向较小表明齿轮副具有较高的承载能力和接触强度两啮合区域皆不产生曲率干涉现象)各接触位置的卷吸速度远大于相对滑动速度有利于形成油膜两啮合区域的滑滚比趋近 表明齿轮的传动过程近似为纯滚动状态磨损较小外凸内凹啮合的润滑性能和总体传动质量要优于外凹内凸啮合)齿面接触点分布在凸、凹齿面中部并沿齿宽方向移动接触椭圆始终近似平行于齿宽有限元结果与理论计算一致)螺旋角对齿面接触点的分布以及齿面滑滚比存在一定的影响故在选取螺旋角时其值应不低于.今后笔者将进一步考虑包含安装误差在内的理论接触模型探讨更多参数对齿面接触结果的影响第 期曾 益等:章动式双圆弧螺旋锥齿轮齿面曲率与运动特性研究参考文献():.:.李进宝.双圆弧弧齿锥齿轮啮合分析.太原工业大学学报():.姚俊红武宝林.双圆弧弧齿锥齿轮的实体建模方法及加工过程模拟.机械设计():.():.():.:.唐 挺李俊阳王家序等.共轭参数驱动的谐波传动齿廓设计与分析方法.机械工程学报():.():.():.():./.().().:/././.:.李瑰贤.空间几何建模及工程中的应用.北京:高等教育出版社.黄 平.弹性流体动压润滑数值计算方法.北京:清华大学出版社.郑昌启.弧齿锥齿轮和准双曲面齿轮:啮合原理齿坯设计、加工调整和齿面分析计算原理.北京:机械工业出版社.沈云波方宗德丁文强.面齿轮传动整个啮合过程相对法曲率干涉检验的方法.兰州理工大学学报():.吴序堂.齿轮啮合原理.版.西安:西安交通大学出版社.蒲 伟王家序朱东等.卷吸速度为任意方向的椭圆接触弹流润滑复合迭代解法.机械工程学报():.闫 茹曹巨江刘言松等.内啮合弧面凸轮机构压力角的计算方法.包装与食品机械():.本文引用格式:曾 益潘 伶尹志强等.章动式双圆弧螺旋锥齿轮齿面曲率与运动特性研究.机电工程():.():.机电工程杂志:/.机 电 工 程第 卷