解三角形必备知识及典型例题及详解.doc

解三角形的必备知识和典型例题
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。
3．三角形的面积公式：
（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
；
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
6．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析
题型1：正、余弦定理
例1．（1）在中，已知A=，B=，解三角形；
（2）在中，已知cm，cm，，解三角形

题型2：三角形面积
例2．在中，，，，求的值和的面积。

题型3：三角形中的三角恒等变换问题
例3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状
例4．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
题型5：三角形中求值问题
例5．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

题型6：正余弦定理的实际应用
例6．如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）

三、跟踪训练
1.若△的三个内角满足，则△ （ ）
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=( )
（A） （B） （C） （D）
3.（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=
A － B C － D
4.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
5.在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为
6.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知且 求b

7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。

8.在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。

9.在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

10.在中，分别为内角的对边，
且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.

11.在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.