资源描述
模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若命题p：∀x∈R,2x2＋1>0，则綈p是( )
A．∀x∈R,2x2＋1≤0
B．∃x∈R,2x2＋1>0
C．∃x∈R,2x2＋1<0
D．∃x∈R,2x2＋1≤0
2．“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．e> B．1<e<
C．e>2 D．1<e<2
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
6．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
7．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60° C．30° D．0°
8．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B．2 C. D.
9．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
10．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3 B．2 C. D.
11．命题p：关于x的不等式(x－2)≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4<k≤0，那么不正确的是( )
A．“綈p”为假命题 B．“綈q”为假命题
C．“p或q”为真命题 D．“p且q”为假命题
12.
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
14．已知双曲线x2－＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．
15．给出如下三种说法：
①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；
②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题；
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．
其中正确说法的序号为________．
16．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并指出其真假．
18．(12分)F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．
19.(12分)若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
21.(12分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．
22．(12分)
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A—A1C—B的正切值大小．
模块综合检测(B)
1．D [綈p：∃x∈R,2x2＋1≤0.]
2．A [因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件．]
3．C [由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>a，∴>2.]
4．A [由题意知c＝4，焦点在x轴上，
又e＝＝2，∴a＝2，
∴b2＝c2－a2＝42－22＝12，
∴双曲线方程为－＝1.]
5．C [设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知|BA|＋|BF|＝2，且|CF|＋|AC|＝2，
所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|
＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.]
6．D [与双曲线－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y2＝λ，
由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.
所以所求的双曲线方程为－＝1.]
7．A [(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
＝(cos2α＋1＋sin2α)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，
∴a＋b与a－b的夹角为90°.]
8．C [双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±x＝0只有一个实根，∴－4＝0，∴＝4，∴＝5，∴e＝.]
9．C [
以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则AA1＝2，依题设有B(1,1,0)，C(0,1,0)，
D1(0,0,2)，E(1,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，
＝(0，－1,2)．
∴cos〈·〉＝＝.]
10．C [令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kl＝－，∴l的方程：x＋2y－3＝0，
由，得6y2－12y＋5＝0.
∴y1＋y2＝2，y1y2＝.
∴|AB|＝ ＝.]
11．D
12．D [
以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．
∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos〈，〉＝＝
＝.
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.]
13．0
14.
解析 焦点(±2,0)，渐近线：y＝±x，
焦点到渐近线的距离为＝.
15．①②
解析 对①a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之不一定．故①正确；对②，令x＝5，y＝6，则x－y＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p∧q假时，p，q至少有一个为假命题，故③错误．
16．(1,3]
解析 设|PF2|＝m，
则2a＝||PF1|－|PF2||＝m，
2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m.
∴e＝＝≤3，又e>1，
∴离心率的取值范围为(1,3]．
17．解 “p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
“非p”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根不都是实数．
∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．
∴p真，q假．∴“p或q”真，“p且q”假，“非p”假．
18．解
设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，F1，F2是它的两个焦点，Q为椭圆上任意一点，QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图)，
过F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于H，
则P是F2H的中点，且|F2Q|＝|QH|，
因此|PO|＝|F1H|＝(|F1Q|＋|QH|)
＝(|F1Q|＋|F2Q|)＝a，
∴点P的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点)．
19．解 由于sin x＋cos x＝sin∈[－，]，∀x∈R，r(x)为假命题即sin x＋cos x>m恒不成立．
∴m≥.①
又对∀x∈R，s(x)为真命题．
∴x2＋mx＋1>0对x∈R恒成立．
则Δ＝m2－4<0，即－2<m<2.②
故∀x∈R，r(x)为假命题，且s(x)为真命题，
应有≤m<2.
20．解 (1)易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则，
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
21．解 方法一
∵PA＝AB＝AD＝1，且PA⊥面ABCD，AD⊥AB，∴可设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(－＋＋)
＝＋＝k＋(－)
＝－i＋k.
∴＝.
方法二 设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M作AD的平行线交CD于点E.可知NE∥PD.
∵＝＋＝＋
＝－＋(＋)＝－i＋(i＋k)
＝－i＋k，
∴＝.
22．(1)证明 ∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，
∴AB⊥AA1.
在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)，
∴＝(1,0,0)，
＝(0，，－)，
∴·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0，
∴AB⊥A1C.
(2)解 如图，可取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)．
则·n＝0，·n＝0，又＝(－1，，0)，
∴ ∴l＝m，n＝m.
不妨取m＝1，则n＝(，1,1)．
cos〈m，n〉＝
＝＝.
设二面角A—A1C—B的大小为θ，
∴cos θ＝cos〈m，n〉＝，sin θ＝.
从而tan θ＝，即二面角A—A1C—B的正切值为.
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