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第二章 高中物理竞赛和高考力学习题解答
2．1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
α

A

B

v0

P

图2.1

x = v0t，．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
，
这是抛物线方程．

2．2 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：
（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相Nm

fm

NM

fM

a

互作用力；
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm = mg = 19.6(N)，
这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm = ma = 2(N)，
这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)，
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM = μkNM = 7.35(N)．
这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为
Nm

f

NM

f `

f

F

a`

f =μsmg = ma`，
可得 a` =μsg．
板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g = Ma`，
即 F = f + Ma` + μk(m + M)g
= (μs + μk)(m + M)g，
算得 F = 16.17(N)．
因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．

2．3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．

m2

F

T1

a1

m1

T2

a2

f1

f2

图2.3

对两物体列运动方程得
T2 - μm2g = m2a2，
F – T1 – μm1g = m1a1．
可以解得m2的加速度为
= 4.78(m·s-2)，
绳对它的拉力为
= 1.35(N)．

2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式；
k1

k2

F

(a)

k1

k2

F

图2.4

(b)

（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为
F1 = k1x1，F2 = k2x2．
（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，
因此 ，即：．
（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，
因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k2．

2．5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即图2.5

摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
（2）小车以加速度沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
（5）以同样大小的加速度（b2 = b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力T

mg

ma

θ

（2）

的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
tanθ = ma/mg， 所以 θ = arctan(a/g)；
绳子张力等于摆所受的拉力 ：．
T

mg

ma

φ

θ

（3）

（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，
合力沿斜面向下，所以θ = φ；
T = mgcosφ．
（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，
与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边
是mbcosφ，邻边是mg + mbsinφ，由此可得：
T

mg

mb

φ

θ

φ

（4）

，
T

mg

mb

φ

θ

（5）

因此角度为
；
而张力为

．
（5）与上一问相比，加速度的
方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．

2．6 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直m

R

ω

θ

r

mg

图2.11

直径的夹角θ表示．
[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为
珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ．
根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
可得
，
解得 ．
2.7设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行.试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为.
[解 答]

2.8 土星质量为，太阳质量为，二者的平均距离是.（1）太阳对土星的引力有多大？（2）设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度.
[解 答]
（1）
（2）
2.9 （1）一个球形物体以角速度旋转.如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转速为每秒30转的脉冲星的最小密度.这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果.（2）如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（~或~，为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？（3）若脉冲星的密度与核物质的相当，它的半径是多少?核密度约为.
[解 答]
（1）以最外层任一质元计算：

（2）
（3） 可求。

2.10 某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s,近日点的速度为80km/s若地球在半径为的圆周轨道绕日运动，速度为30km/s.求此彗星的远日点距离.
[解 答]

又
2.11 考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半.求此行星极点处的粒子的逃逸速度.
[解 答]
设粒子在极点处的逃逸速度为，由能量关系

（1）

根据重力的概念： 其中为重力，为万有引力，为惯性离心力
在赤道： （2）
在极点： (3)
(3)式比（2）式得：

即： （4）
（4）式代入（1）式得：

2.12.已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2，围绕地球的大圆周长为，月球与地球的直径及质量之比分别为是和.试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度.
[解 答]
设月球的逃逸速度为，无穷远处，引力势能为零。
地球大圆周长为
由能量关系，月球的逃逸速度满足：
（m为逃逸质点的质量）
（1）
地球表面的重力加速度满足：
（忽略地球自转影响）
（2）
（2）式代入（1）式有：
（3）
又有： （4）
（4）式代入(3)式

2．13用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
vx

Δv

vy

[解答]球上升初速度为= 14(m·s-1)，
其速度的增量为= 24.4(m·s-1)．
棒给球冲量为I = mΔv = 7.3(N·s)，
对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)．

2．14 如图所示，三个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s-2）
C

B

A

图2.15

[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg – T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，
加速度大小为a，可列方程：T = Ma，
联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s-2)．
根据运动学公式：s = v0t + at2/2，
可得B拉C之前的运动时间；= 0.4(s)．
此时B的速度大小为：v = at = 2(m·s-1)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`，
因此C开始运动的速度为：v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．

2．15一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？
v0

θ

v

v`

v`

45°

[解答] 炮弹在最高点的速度大小为
v = v0cosθ，方向沿水平方向．
根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的
总动量，可作矢量三角形，列方程得
，
所以 v` = v/cos45° = ．

2．16如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
R

45°

mg

N

θ

F

f

ds

图2.17

[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为
ds = Rdθ．
重力的大小为：G = mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为

，
积分得重力所做的功为

．
摩擦力的大小为：f = μkN = μkmgcosθ，
方向与弧位移的方向相反，所做的功元为

，
积分得摩擦力所做的功为

．
要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即 ，
或者 ．
拉力的功元为：，
拉力所做的功为
．
由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．

2．17如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k = 400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程
，
整理和一元二次方程
，
解得
= 0.24(m)（取正根）．

2．18 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
[证明]设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得
p1

p2

θ

p0

，
即 ；
根据动量守恒得：，
其中各动量的大小为：p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，
对矢量式两边同时平方并利用
得：，
即：
化简得：，
结合机械能守恒公式得：2v1v2cosθ = 0，
由于v1和v2不为零，所以：θ = π/2，即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．

2．19如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．
[解答]钢球下落后、碰撞前的速率为：．
钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程
l = 0.8m

m2

m1

O

图2.21

，
．
整理得
．
将上式除以下式得：v1 + v1` = v2`，
代入整理的下式得
，
解得 ．
碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为
= 0.36(m)．
[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程
，
．同理可得．
从而解得，或者；
将下标1和2对调得
，或者．
后一公式很好记忆，其中代表质心速度．

2.20 质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率。求力T将木块自A拉至B点的速度。
[解 答]

T
A
B

A
B
o

做功为零
由动能定理：

式中

利用积分公式：
则上式

注：关于T做功还有一种解法:

其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。
2.21 质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度，求木块被拉至B时的速度。

[解 答]
重力做功

方向向上

2.22 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度向右运动。弹簧的劲度系数为，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为。求证物体能达到的最远距离为。
[解 答]

由：

所以：
解一元二次方程：
由

舍去负号：

2.23 坐标系与坐标系各对应轴平行。相对于沿x轴以作匀速直线运动。对于系，质点动能定理为，,沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于系，动能定理也取这种形式。
[解 答]
∵

∴

∵

∴
由动能定理得：

∴
最后可得：
说明相对于系，动能定理的形式不变。
2.24轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。
[解 答]

以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力，框架重力，轻绳拉力和作用在框架上的水平力。其中轻绳的拉力和不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和为零。质点组所力情况如图：
根据质点组动能定理：
（1）
为圆柱体的绝对速度
为框架的绝对速度。
由于（见下图）
将此式投影到图中所示的沿水平方向的ox轴上，得：

带入（1）式中

解得：

2.25 二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数分别各为和。它们自由伸长的长度相差。坐标原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在和时弹性势能的表示式。
[解 答]
弹性力

外力为

当时，无势能，只有有势能。外界压缩弹簧做功使势能增加。设原点处为势能零点，则：

时：原点为势能零点
对于：外力做功
对于：外力做功

2.25 滑雪运动员自A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m。坡道在B点的切线方向与水平面成300角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽d，（
[解 答]

（1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力不做功，所以机械能守恒。
以B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：

（2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以B、C的垂直高度

（3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：

2.26 装置如图所示：球的质量为5kg，杆AB长1cm，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。

[解 答]
包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：
不做功。
重力和弹性力为保守力（不计摩擦）
系统机械能守恒
设杆水平时势能为零

（1）
∵（水平位置）
（2）
将（2）式代入（1）式

2.27 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m，恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体Q的最大速度；（2）物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度。

[解 答]
（1）取物体Q为隔离体
在竖直方向上Q所受的力的矢量和为零。
而在水平方向只受到弹力和光滑圆弧的水平方向的作用力作用，为保守力，不做功。所以机械能守恒。
设弹簧势能零点为弹簧原点处：
（B点速度最大）

（2）在D点弹性势能为：

因为
所以
2.28 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四倍）。
[解 答]
设粒子的质量为4，氢原子的质量为；粒子的初速度为，氢原子的初速度为；
正碰后，粒子的速度为，氢原子的速度为。
由公式:
将以上数据代入：

入射粒子的能量：
氢原子碰后的能量：
则：

2.29 m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率滑行并与m碰撞挂钩。挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。
[解 答]
选取机车和车厢为质点组
挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲击力大于阻力，可视为动量守恒。

撞后：由动能定理

2.30 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为e。若球A自高度释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。
[解 答]
（1）A球碰前的速度，由机械能守恒：

（1）
A与B发生非弹性碰撞

（2）
又知： （3）
由（1）（2）（3）式得：
（4）
A球上升高度：机械能守恒

（2）若两球发生完全弹性碰撞
由（4）式
再由（2）式
即A球静止，B球以A球碰前的速度开始运动。当B球上升后（高度）又落下与A球再次发生完全弹性碰撞。 ，A球以速度开始向上运动。如此往复。

2.31 质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg、用1m长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度。问摆沿铅直方向升起若干。
[解 答]
第一阶段，动量守恒

第二阶段，机械能守恒

 2.31 一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长10cm。今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落入框架。秋此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计。
[解 答]
铅块下落到框底速度为
（1）
接下来，铅块与框架底发生完全非弹性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力，可视为动量守恒。

（2）
（由于碰撞时间短，下降距离为零）
以后以共同速度下降：机械能守恒

设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为，碰撞后质点移动的最大距离为。
（3）
依题意 （4）
（2）（4）式代入（3）式：

舍去负号项，

2.32 质量为=0.790kg和=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率=100m/s沿水平方向射于内，问弹簧最多压缩了多少？
[解 答]
第一阶段：完全非弹性碰撞
（1）
第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守恒。
（2）
（为共同速度）

再由机械能守恒：
（3）
有（1）（2）（3）式解出：

2.33 一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内。小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。
[解 答]
第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞
水平方向动量守恒：
（为子弹、小鸟共同速度）

第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动
小鸟落地时间：
水平距离：

2.34 在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度下滑，已知A、B两质点的质量分别为和。求至少发生两次碰撞的条件。
[解 答]
分三个阶段：
第一阶段，A第一次与B完全弹性碰撞。
设，A撞前速度为，撞后速度为；
B撞前速度为零，撞后速度为。

由公式：
得：

要使质点返回，必须，即
第二阶段，A返回上升到轨道某处，并再度下滑到平面轨道。
由机械能守恒：
（是再度下滑到平面轨道的速度）
得
第三阶段，A，B再次碰撞。
要求，即将上面的，代入此式

即
这是A，B至少发生两次碰撞的条件。

2.35 一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图示。CD长。铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至时开始做匀速直线运动。后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？
[解 答]
选取铁箱和钢球为质点组，以地面为参考系，坐标系。
第一阶段，钢球与AC发生完全弹性碰撞。
设为铁箱碰撞前后速度，
为小球碰撞前后速度。

由完全弹性碰撞：

即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为。
第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与BD相碰。
取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑，所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间隔为
2.36 两车厢质量均为M。左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以运动。另一车厢以2从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为。求：
（1）货箱与地板间的摩擦系数；
（2）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。
[解 答]
（1）第一步：两车厢完全非弹性碰撞，

第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系;

（2）碰撞后系统在水平方向的动能守恒。
系统的动量： 系统总动量为零，质心不动。
(常量) （1）
（2）
（3）
解（2）（3）式得：

2.37 质量为m的氘核的速率u与静止的质量为2m的粒子发生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成角散射。（1）求粒子的运动方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之几的能量由氘核传给粒子？
[解 答]
（1）由动量守恒：

即：
由（完全弹性碰撞）
在方向上有关系式：

（3）
（1）（2）式代入（3）式得：
（2） 由（1）式
（3） 动能比：
2.38 参考3.8.7题图。桑塔娜空车质量为，载质量为70kg一人，向北行驶。另一质量为的切诺基汽车向东行驶。而车相撞后连成一体，沿东偏北滑出d=16m而停止。路面摩擦系数为。该地段规定车速不得超过80km/。问那辆车违背交通规则？又问因相撞损失多少动能？
[解 答]
碰后的共同速度

（1）
（2）
（3）

解得：

切诺基超速。
碰撞损失的动能：

2.39一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：
m

M

A

B

R

v

V

图2.22

（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？
（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；
（3）物体到达B时对槽的压力．
[解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得
，
根据动量守恒定律得： 0 = mv + MV．
因此
，
解得
， 从而解得：．
（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量
．
（3）物体在槽底相对于槽的速度为
，
物体受槽的支持力为N，则
，
因此物体对槽的压力为
．

2．40在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．
[解答] 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得
4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5．
质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得
，
l

θ

m

图2.24

因此，
所以最近距离为：．

2．41证明行星在轨道上运动的总能量为．式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．
r1

r2

v1

v2

[证明]设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为
（1）
和 ． （2）
它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程
mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2． (3)
将（1）式各项同乘以r12得：Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)
将（2）式各项同乘以r22得：Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)
将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得：E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)
由于r1不等于r2，所以：（r2 + r1)E = -GMm，
故 ． 证毕．

（三） 刚体定轴转动
2．42质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．
R1

R2

O

O`

H

图2.26

[解答]设圆柱体的高为H，其体积为
V = π(R22 – R12)h，
体密度为
ρ = M/V．
在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为
dV = Sdr = 2πrHdr，
其质量为
dm = ρdV，
绕中心轴的转动惯量为
dI = r2dm = 2πρHr3dr，
总转动惯量为

．
2．43 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
O

r

R

r

图2.29

[解答]大圆的面积为S = πR2，
质量的面密度为σ = M/S．
大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2．
小圆的面积为s = πr2，质量为m = σs，
绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr2/2，
根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为
Im = IC + m(R/2)2．

，
剩余部分的转动惯量为
．

2．44 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．
（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？
（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？
[解答]设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，
在力矩平衡时有：0.5N` – 1.25F = 0，
O

0.50

F

0.75

图2.30

所以：N`=2.5F = 250(N)．
闸瓦对飞轮的压力为;N = N`= 250(N)，
与飞轮之间摩擦力为：f = μN = 100(N)，
摩擦力产生的力矩为：M = fR．
飞轮的转动惯量为：I = mR2/2，
角加速度大小为：β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)，
负号表示其方向与角速度的方向相反．
飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad·s-1)．
根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，t = -ω0/β = 7.07(s)．
再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad)，
转过的圈数为n = θ/2π = 53r．
[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．
（2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π．力矩为M = -Iβ，
摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π．闸瓦对飞轮的压力为N = f/μ，
需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．

2．45一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m2，轴承无摩擦．求
（1）飞轮的角加速度．
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．
（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．
[解答]（1）恒力的力矩为F=98N

P=98N

m

(a)

(b)

图2.31

M = Fr = 19.6(N·m)，
对飞轮产生角加速度为β = M/I = 39.2(rad·s-2)．
（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为
θ = s/r = 25(rad)，
由于飞轮开始静止，根据公式ω2 = 2βθ，可得角速度为
= 44.27(rad·s-1)；
飞轮的转动动能为Ek = Iω2/2 = 490(J)．
方法二：用动力学定理．拉力的功为W = Fs = 490(J)，
根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．
根据公式Ek = Iω2/2，得角速度为
= 44.27(rad·s-1)．
(3)物体的质量为m = P/g = 10(kg)．设绳子的张力为T，则P – T = ma，Tr = Iβ．
由于a = βr，可得Pr = mr2β + Iβ，解得角加速度为
= 21.8(rad·s-2)．
绳子的张力为
= 54.4(N)．
张力所做的功为W` = Ts = 272.2(J)，
这就是飞轮此时的转动动能E`k．飞轮的角速度为= 33(rad·s-1)．

2．46一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0N·m-1．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连，如图所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r = 0.05m，质量为m = 100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑．
m1

m1

m

h

r

图2.33

[解答]根据机械能守恒定律可列方程
，
其中I = mr2/2，ω = v/r，可得
2m1gh – kh2 = m1v2 + mv2/2，
解得
= 1.48(m·s-1)．

2．47 一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
（1）问它能上升多高？
（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
ω

R

图2.36

[解答]（1）碎片上抛的初速度为v0 = ωR，
根据匀变速直线运动公式v2 – v02 = -2gh，
可得碎片上升的高度为h = v02/2g =ω2R2/2g．
（2）余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有
，
所以角动量为L = I