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第二章 高中物理竞赛和高考力学习题解答21 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解答质点在斜上运动的加速度为a = gsin，方向与初速度方向垂直其运动方程为ABv0P图2.1x = v0t，将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为，这是抛物线方程22 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为k = 0.25，静摩擦因素为s = 0.30求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1ms-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相NmfmNMfMa互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm = mg = 19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM = kNM = 7.35(N)这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a的运动，物体的运动方程为NmfNMf fFa f =smg = ma，可得 a =sg板的运动方程为 F f k(m + M)g = Ma，即 F = f + Ma + k(m + M)g = (s + k)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力23 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力（绳子和滑轮质量均不计）解答利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2m2FT1a1m1T2a2f1f2图2.3对两物体列运动方程得T2 - m2g = m2a2，F T1 m1g = m1a1可以解得m2的加速度为= 4.78(ms-2)，绳对它的拉力为= 1.35(N) 24 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2满足关系关系式；k1k2F(a)k1k2F图2.4(b)（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2解答当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F2 = k2x2（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，因此 ，即：（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k225 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即图2.5摆线与竖直线的夹角）及线中的张力T（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成角；（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；（5）以同样大小的加速度（b2 = b），将小车从斜面上推下来解答（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力Tmgma（2）的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力由于tan = ma/mg， 所以 = arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力 ：Tmgma（3）（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 = ；T = mgcos（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，角的对边是mbcos，邻边是mg + mbsin，由此可得：Tmgmb（4），Tmgmb（5）因此角度为；而张力为（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了26 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动在环上套有一珠子今逐渐增大圆环的转动角速度，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置以珠子所停处的半径与竖直mRrmg图2.11直径的夹角表示解答珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtg珠子做圆周运动的半径为r = Rsin根据向心力公式得F = mgtg = m2Rsin，可得，解得 2.7设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行.试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为.解 答2.8 土星质量为，太阳质量为，二者的平均距离是.（1）太阳对土星的引力有多大？（2）设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度.解 答（1）（2）2.9 （1）一个球形物体以角速度旋转.如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转速为每秒30转的脉冲星的最小密度.这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果.（2）如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（或，为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？（3）若脉冲星的密度与核物质的相当，它的半径是多少?核密度约为.解 答（1）以最外层任一质元计算： （2） （3） 可求。2.10 某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s,近日点的速度为80km/s若地球在半径为的圆周轨道绕日运动，速度为30km/s.求此彗星的远日点距离.解 答又2.11 考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半.求此行星极点处的粒子的逃逸速度.解 答设粒子在极点处的逃逸速度为，由能量关系 （1）根据重力的概念： 其中为重力，为万有引力，为惯性离心力 在赤道： （2） 在极点： (3) (3)式比（2）式得： 即： （4） （4）式代入（1）式得： 2.12.已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2，围绕地球的大圆周长为，月球与地球的直径及质量之比分别为是和.试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度.解 答设月球的逃逸速度为，无穷远处，引力势能为零。地球大圆周长为由能量关系，月球的逃逸速度满足： （m为逃逸质点的质量） （1）地球表面的重力加速度满足： （忽略地球自转影响） （2）（2）式代入（1）式有： （3）又有： （4）（4）式代入(3)式213用棒打击质量0.3kg，速率等于20ms-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？vxvvy解答球上升初速度为= 14(ms-1)，其速度的增量为= 24.4(ms-1)棒给球冲量为I = mv = 7.3(Ns)，对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)214 如图所示，三个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10ms-2）CBA图2.15解答物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg T = Ma，物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程：T = Ma，联立方程可得：a = g/2 = 5(ms-2)根据运动学公式：s = v0t + at2/2，可得B拉C之前的运动时间；= 0.4(s)此时B的速度大小为：v = at = 2(ms-1)物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv，因此C开始运动的速度为：v = 2v/3 = 1.33(ms-1)215一炮弹以速率v0沿仰角的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45仰角上飞，一块沿45俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？v0vvv45解答 炮弹在最高点的速度大小为v = v0cos，方向沿水平方向根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得，所以 v = v/cos45 = 216如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R设马对雪橇的拉力总是平行于路面雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为k当把雪橇由底端拉上45圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？R45mgNFfds图2.17解答取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为ds = Rd重力的大小为：G = mg，方向竖直向下，与位移元的夹角为 + ，所做的功元为，积分得重力所做的功为摩擦力的大小为：f = kN = kmgcos，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为，积分得摩擦力所做的功为要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即 ，或者 拉力的功元为：， 拉力所做的功为由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功217如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m弹簧的倔强系数k = 400Nm-1斜面倾角为45求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？解答取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程，整理和一元二次方程，解得= 0.24(m)（取正根）218 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直证明设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得p1p2p0，即 ；根据动量守恒得：，其中各动量的大小为：p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，对矢量式两边同时平方并利用得：，即：化简得：，结合机械能守恒公式得：2v1v2cos = 0，由于v1和v2不为零，所以： = /2，即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直219如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度解答钢球下落后、碰撞前的速率为：钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1和v1，根据机械能守恒和动量守恒得方程l = 0.8mm2m1O图2.21，整理得将上式除以下式得：v1 + v1 = v2，代入整理的下式得，解得 碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为= 0.36(m)讨论如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程，同理可得从而解得，或者；将下标1和2对调得，或者后一公式很好记忆，其中代表质心速度2.20 质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率。求力T将木块自A拉至B点的速度。 解 答TABABo做功为零由动能定理：式中利用积分公式：则上式注：关于T做功还有一种解法:其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。2.21 质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度，求木块被拉至B时的速度。解 答重力做功 方向向上2.22 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度向右运动。弹簧的劲度系数为，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为。求证物体能达到的最远距离为。解 答由： 所以：解一元二次方程：由舍去负号：2.23 坐标系与坐标系各对应轴平行。相对于沿x轴以作匀速直线运动。对于系，质点动能定理为，,沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于系，动能定理也取这种形式。解 答 由动能定理得： 最后可得：说明相对于系，动能定理的形式不变。2.24轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。解 答以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力，框架重力，轻绳拉力和作用在框架上的水平力。其中轻绳的拉力和不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和为零。质点组所力情况如图：根据质点组动能定理： （1）为圆柱体的绝对速度为框架的绝对速度。由于（见下图）将此式投影到图中所示的沿水平方向的ox轴上，得：带入（1）式中解得：2.25 二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数分别各为和。它们自由伸长的长度相差。坐标原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在和时弹性势能的表示式。解 答弹性力外力为当时，无势能，只有有势能。外界压缩弹簧做功使势能增加。设原点处为势能零点，则：时：原点为势能零点对于：外力做功对于：外力做功2.25 滑雪运动员自A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m。坡道在B点的切线方向与水平面成300角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽d，（解 答（1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力不做功，所以机械能守恒。以B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：（2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以B、C的垂直高度（3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：2.26 装置如图所示：球的质量为5kg，杆AB长1cm，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解 答包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：不做功。重力和弹性力为保守力（不计摩擦）系统机械能守恒设杆水平时势能为零 （1）（水平位置） （2）将（2）式代入（1）式2.27 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m，恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体Q的最大速度；（2）物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度。解 答 （1）取物体Q为隔离体在竖直方向上Q所受的力的矢量和为零。而在水平方向只受到弹力和光滑圆弧的水平方向的作用力作用，为保守力，不做功。所以机械能守恒。设弹簧势能零点为弹簧原点处： （B点速度最大）（2）在D点弹性势能为：因为 所以 2.28 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四倍）。解 答设粒子的质量为4，氢原子的质量为；粒子的初速度为，氢原子的初速度为；正碰后，粒子的速度为，氢原子的速度为。由公式: 将以上数据代入： 入射粒子的能量：氢原子碰后的能量：则： 2.29 m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率滑行并与m碰撞挂钩。挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。解 答选取机车和车厢为质点组挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲击力大于阻力，可视为动量守恒。 撞后：由动能定理2.30 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为e。若球A自高度释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。解 答（1）A球碰前的速度，由机械能守恒： （1）A与B发生非弹性碰撞 （2）又知： （3）由（1）（2）（3）式得： （4）A球上升高度：机械能守恒 （2）若两球发生完全弹性碰撞 由（4）式 再由（2）式 即A球静止，B球以A球碰前的速度开始运动。当B球上升后（高度）又落下与A球再次发生完全弹性碰撞。 ，A球以速度开始向上运动。如此往复。2.31 质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg、用1m长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度。问摆沿铅直方向升起若干。解 答第一阶段，动量守恒第二阶段，机械能守恒2.31 一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长10cm。今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落入框架。秋此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计。解 答铅块下落到框底速度为 （1）接下来，铅块与框架底发生完全非弹性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力，可视为动量守恒。 （2）（由于碰撞时间短，下降距离为零）以后以共同速度下降：机械能守恒设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为，碰撞后质点移动的最大距离为。 （3）依题意 （4）（2）（4）式代入（3）式：舍去负号项，2.32 质量为=0.790kg和=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率=100m/s沿水平方向射于内，问弹簧最多压缩了多少？解 答第一阶段：完全非弹性碰撞 （1）第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守恒。 （2）（为共同速度）再由机械能守恒： （3）有（1）（2）（3）式解出：2.33 一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内。小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。解 答第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞水平方向动量守恒： （为子弹、小鸟共同速度） 第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动小鸟落地时间：水平距离： 2.34 在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度下滑，已知A、B两质点的质量分别为和。求至少发生两次碰撞的条件。解 答分三个阶段：第一阶段，A第一次与B完全弹性碰撞。设，A撞前速度为，撞后速度为； B撞前速度为零，撞后速度为。由公式： 得：要使质点返回，必须，即第二阶段，A返回上升到轨道某处，并再度下滑到平面轨道。由机械能守恒： （是再度下滑到平面轨道的速度）得 第三阶段，A，B再次碰撞。要求，即将上面的，代入此式即 这是A，B至少发生两次碰撞的条件。2.35 一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图示。CD长。铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至时开始做匀速直线运动。后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？解 答选取铁箱和钢球为质点组，以地面为参考系，坐标系。第一阶段，钢球与AC发生完全弹性碰撞。设为铁箱碰撞前后速度， 为小球碰撞前后速度。由完全弹性碰撞： 即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为。第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与BD相碰。 取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑，所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间隔为2.36 两车厢质量均为M。左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以运动。另一车厢以2从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为。求：（1）货箱与地板间的摩擦系数；（2）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。解 答（1）第一步：两车厢完全非弹性碰撞，第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系; （2）碰撞后系统在水平方向的动能守恒。系统的动量： 系统总动量为零，质心不动。(常量) （1） （2）（3）解（2）（3）式得：2.37 质量为m的氘核的速率u与静止的质量为2m的粒子发生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成角散射。（1）求粒子的运动方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之几的能量由氘核传给粒子？解 答 （1）由动量守恒：即：由（完全弹性碰撞）在方向上有关系式： （3）（1）（2）式代入（3）式得：（2） 由（1）式（3） 动能比：2.38 参考3.8.7题图。桑塔娜空车质量为，载质量为70kg一人，向北行驶。另一质量为的切诺基汽车向东行驶。而车相撞后连成一体，沿东偏北滑出d=16m而停止。路面摩擦系数为。该地段规定车速不得超过80km/。问那辆车违背交通规则？又问因相撞损失多少动能？解 答碰后的共同速度 （1） （2） （3）解得：切诺基超速。碰撞损失的动能：2.39一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：mMABRvV图2.22（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；（3）物体到达B时对槽的压力解答（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得，根据动量守恒定律得： 0 = mv + MV因此，解得， 从而解得：（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量（3）物体在槽底相对于槽的速度为，物体受槽的支持力为N，则，因此物体对槽的压力为240在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离解答 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力根据能量守恒定律得，lm图2.24因此，所以最近距离为：241证明行星在轨道上运动的总能量为式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离r1r2v1v2证明设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为 （1）和 （2）它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程mv1r1 = mv2r2，即 v1r1 = v2r2 (3)将（1）式各项同乘以r12得：Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)将（2）式各项同乘以r22得：Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得：E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于r1不等于r2，所以：（r2 + r1)E = -GMm，故 证毕（三） 刚体定轴转动242质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量R1R2OOH图2.26解答设圆柱体的高为H，其体积为V = (R22 R12)h，体密度为 = M/V在圆柱体中取一面积为S = 2RH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为dV = Sdr = 2rHdr，其质量为dm = dV，绕中心轴的转动惯量为dI = r2dm = 2Hr3dr，总转动惯量为243 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔圆孔中心在圆盘半径的中点求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量OrRr图2.29解答大圆的面积为S = R2，质量的面密度为 = M/S大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2小圆的面积为s = r2，质量为m = s，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr2/2，根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为Im = IC + m(R/2)2，剩余部分的转动惯量为244 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900rmin-1现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？解答设飞轮对闸瓦的支持力为N，以左端为转动轴，在力矩平衡时有：0.5N 1.25F = 0，O0.50F0.75图2.30所以：N=2.5F = 250(N)闸瓦对飞轮的压力为;N = N= 250(N)，与飞轮之间摩擦力为：f = N = 100(N)，摩擦力产生的力矩为：M = fR飞轮的转动惯量为：I = mR2/2，角加速度大小为： = -M/I = -2f/mR = -40/3(rads-2)，负号表示其方向与角速度的方向相反飞轮的初角速度为0 = 30(rads-1)根据公式 = 0 + t，当 = 0时，t = -0/ = 7.07(s)再根据公式2 = 02 + 2，可得飞轮转过的角度为 = -02/2 = 333(rad)，转过的圈数为n = /2 = 53r注意圈数等于角度的弧度数除以2（2）当t = 2s， = 0/2时，角加速度为 = -0/2t = -7.5力矩为M = -I，摩擦力为f = M/R = -mR/2 = (7.5)2闸瓦对飞轮的压力为N = f/，需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2 = 176.7(N)245一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示已知飞轮的转动惯量I = 0.5kgm2，轴承无摩擦求（1）飞轮的角加速度（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果解答（1）恒力的力矩为F=98NP=98Nm(a)(b)图2.31M = Fr = 19.6(Nm)，对飞轮产生角加速度为 = M/I = 39.2(rads-2)（2）方法一：用运动学公式飞轮转过的角度为 = s/r = 25(rad)，由于飞轮开始静止，根据公式2 = 2，可得角速度为 = 44.27(rads-1)；飞轮的转动动能为Ek = I2/2 = 490(J)方法二：用动力学定理拉力的功为W = Fs = 490(J)，根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek根据公式Ek = I2/2，得角速度为= 44.27(rads-1)(3)物体的质量为m = P/g = 10(kg)设绳子的张力为T，则P T = ma，Tr = I由于a = r，可得Pr = mr2 + I，解得角加速度为= 21.8(rads-2)绳子的张力为= 54.4(N)张力所做的功为W = Ts = 272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能Ek飞轮的角速度为= 33(rads-1)246一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0Nm-1它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连，如图所示定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r = 0.05m，质量为m = 100g先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑m1m1mhr图2.33解答根据机械能守恒定律可列方程，其中I = mr2/2， = v/r，可得2m1gh kh2 = m1v2 + mv2/2，解得= 1.48(ms-1)247 一个质量为M，半径为R并以角速度旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上（1）问它能上升多高？（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能R图2.36解答（1）碎片上抛的初速度为v0 = R，根据匀变速直线运动公式v2 v02 = -2gh，可得碎片上升的高度为h = v02/2g =2R2/2g（2）余下部分的角速度仍为，但是转动惯量只有，所以角动量为L = I