周期pq的二阶广义分圆二元序列的自相关值分布和2-adic复杂度.pdf

第4 7卷/第4期/2 0 2 3年7月河北师范大学学报/自然科学版/J O U R N A LO FH E B E IN O R M A LU N I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l.4 7N o.4J u l.2 0 2 3文章编号:1 0 0 0-5 8 5 4(2 0 2 3)0 4-0 3 2 5-0 7收稿日期:2 0 2 2-1 1-0 9;修回日期:2 0 2 3-0 1-1 3基金项目:国家自然科学基金(1 2 0 3 1 0 1 1)作者简介:荆晓燕(1 9 9 5),女,陕西西安人,硕士研究生,研究方向为序列、数论及其应用.通信作者:冯克勤(1 9 4 1),男,教授,研究方向为代数数论、编码理论与密码.E-m a i l:f e n g k q m a i l.t s i n g h u a.e d u.c n周期p q的二阶广义分圆二元序列的自相关值分布和2-a d i c复杂度荆晓燕1,强诗瑗2,杨名慧3,冯克勤4(1.西北大学 数论及其应用研究中心,陕西 西安 7 1 0 1 2 7;2.四川大学 数学学院,四川 成都 6 1 0 0 6 4;3.中国科学院信息工程研究所 信息安全国家重点实验室,北京 1 0 0 0 8 4;4.清华大学 数学系,北京 1 0 0 0 9 3)摘要:对于2个不同的奇素数p和q,周期n=p q的二元广义分圆序列S=S(a,b,c)(a,b,c)0,13)具有良好的自相关性质.在一些情况下,其有理想自相关或最优自相关.基于群环语言和群环R=ZZ(是n阶循环群)上的二次高斯和版本,用一种统一的方法确定了所有(a,b,c)0,13时的二元序列S=S(a,b,c)的自相关值分布和2-a d i c复杂度.关键词:2-a d i c复杂度;二元序列;自相关值分布;高斯和;流密码中图分类号:T N9 1 8.1;O1 5 6.2 文献标志码:A d o i:1 0.1 3 7 6 3/j.c n k i.j h e b n u.n s e.2 0 2 3 0 1 0 1 0D e t e r m i n a t i o no f t h eA u t o c o r r e l a t i o nD i s t r i b u t i o na n d2-a d i cC o m p l e x i t yo fG e n e r a l i z e dC y c l o t o m i cB i n a r yS e q u e n c e so fO r d e r2w i t hP e r i o dp qJ I NGX i a o y a n1,Q I ANGS h i y u a n2,YANG M i n g h u i3,F E NGK e q i n4(1.R e s e a r c hC e n t e r f o rN u m b e rT h e o r ya n dI t sA p p l i c a t i o n s,N o r t h w e s tU n i v e r s i t y,S h a a n x iX i a n 7 1 0 1 2 7,C h i n a;2.C o l l e g eo fM a t h e m a t i c s,S i c h u a nU n i v e r s i t y,S i c h u a nC h e n g d u 6 1 0 0 6 4,C h i n a;3.S t a t eK e yL a b o r a t o r yo f I n f o r m a t i o nS e c u r i t y,I n s t i t u t eo f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,C h i n e s eA c a d e m yo fS c i e n c e s,B e i j i n g 1 0 0 0 9 3,C h i n a;4.D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,T s i n g h u aU n i v e r s i t y,B e i j i n g 1 0 0 0 8 4,C h i n a)A b s t r a c t:T h eg e n e r a l i z e dc y c l o t o m i cb i n a r ys e q u e n c e sS=S(a,b,c)w i t hp e r i o dn=p qh a v eg o o da u-t o c o r r e l a t i o np r o p e r t yw h e r e(a,b,c)0,13a n dp,qa r ed i s t i n c to d dp r i m e s.F o rs o m ec a s e s,t h es e-q u e n c e sSh a v e i d e a l o ro p t i m a l a u t o c o r r e l a t i o n.I nt h i sp a p e rw ed e t e r m i n e t h ea u t o c o r r e l a t i o nd i s t r i b u t i o na n d2-a d i cc o m p l e x i t yo f t h es e q u e n c e sS=S(a,b,c)f o ra l l(a,b,c)0,13i nau n i f i e dw a yb yu s i n gg r o u pr i n g l a n g u a g ea n dav e r s i o no f q u a d r a t i cG a u s s s u m sv a l u e d i ng r o u pr i n gR=ZZw h e r e i s a c y-c l i cg r o u po fo r d e rn.K e yw o r d s:2-a d i c c o m p l e x i t y;b i n a r ys e q u e n c e s;a u t o c o r r e l a t i o nd i s t r i b u t i o n;G a u s s s u m s;s t r e a mc i-p h e r0 引 言设p和q为2个不同的素数,ZZp q=ZZ/p q ZZ.环ZZp q的单位群为 ZZ*p q=a(m o dp q):g c d(a,p q)=1=i p+j q(m o dp q):1iq-1,1jp-1.令P=p,2p,.,(q-1)p,Q=q,2q,.,(p-1)q.则ZZp q=ZZ*p qPQ0.周期为n=p q的2阶广义分圆二元序列S(a,b,c)=S=sn-1=0,sFF2=0,1定义如下 s=c,若=0,a,若P,b,若Q,121-pq,若ZZ*p q,(1)其中p表示关于p的L e g e n d r e符号,a,b,cFF2.序列S=S(a,b,c)的自相关函数定义为 CS()=n-1=0(-1)s+s+ZZ(0n-1).CS(0)=n称为S的平凡自相关值.对于许多通信应用,如雷达测距、C DMA通信系统和在流密码加密中生成密钥流序列,需要二元序列S的所有非平凡自相关值CS()(1n-1)的绝对值|CS()|越小越好.线性反馈移位寄存器(L F S R)和带进位的反馈移位寄存器(F C S R)是2种快速密钥流生成器.序列的线性复杂度(2-a d i c复杂度)定义为可以生成该序列的最短L F S R(C S R)的长度.根据B e r l e k a m p-M a s s e y算法1(或有理近似算法2),在密码学中安全的序列,其线性复杂度(2-a d i c复杂度)应该超过其周期的一半.表1 二元序列S(a,b,c)的自相关值T a b.1 T h ea u t o c o r r e l a t i o no f t h e s e q u e n c e sS(a,b,c)(a,b,c)周期自相关值参考文献(1,0,0)p(p+2)理想自相关2,3,1 1,本文(1,0,0)p(p+4)最优自相关2,3,本文(0,1,1)p(p+2)理想自相关本文(0,1,1)p(p十4)最优自相关本文文献3-5 计算了序列S=S(1,0,0)的自相关值.特别地,当q=p+2时,序列S=S(1,0,0)具有理想 自 相 关,即 对 所 有1p q-1,都 有CS()=-1.当q=p+4时,序列S=S(1,0,0)具有最优3值自相关,即对所有1p q-1,都有CS()=1或-3.本文计算了当(a,b,c)0,13时序列S=S(a,b,c)的自相关值,并发现了序列S另外2种具有最优自相关的情况,如表1所示.文献6-7 和8-1 2 分别给出了二元序列S=S(1,0,0)的线性复杂度和2-a d i c复杂度.作为比较,表2中列出了本文和之前的相关结果.表2 二元序列S(a,b,c)的2-a d i c复杂度T a b.2 T h e2-a d i cc o m p l e x i t yo f t h e s e q u e n c e sS(a,b,c)(a,b,c)周期2-a d i c复杂度参考文献(1,0,0)p(p+2)p(p+2)5,6,1 0,1 3(1,0,0)p(p+4)p(p+4)1 2(1,0,0)p qp q-p-q-11 0(1,0,0)p qp q-3 l o g2p q+45(1,0,0)p ql o g22p q-1m a x(g c d(q-1)o,2p-1),g c d(p+1)o,2q-1)()1 4(1,0,0)p ql o g22p q-1m a x(g c d(q-1,2p-1),g c d(p+1,2q-1)()本文0,13p ql o g22p q-1m a x(g c d(q-1+ep,2p-1),g c d(p-1+ep,2q-1)()本文其中lo表示l的奇数部分,ep=(-1)a+c-(-1)a+b,eq=(-1)b+c-(-1)a+b.623本文的结构如下:在第1节中,利用群环R=ZZ 语言,得到了所有情况下S=S(a,b,c)(a,b,c)FF32)的自相关分布,其中=1,x,xn-1 是由x生成的阶为n=p q的乘法循环群,这使得计算比以前的工作更清晰、更容易.结果表明,对于(a,b,c)的所有情况,所有非平凡自相关CS()(1p q-1)的绝对值至多为m a x|q-p|+3,9,这说明当|q-p|较小时,序列S=S(a,b,c)具有良好的自相关性质.在第2节中,使用相同的群环方法来确定所有(a,b,c)FF32时序列S=S(a,b,c)的2-a d i c复杂度的精确值.特别地,当1 6p4q+4p+5时,序列S=S(a,b,c)的2-a d i c复杂度达到最大值l o g2(2p q-1).基于群环理论,用统一的方法,用FF2 代替ZZ,同样可以给出序列S=S(a,b,c)的线性复杂度,但是需要确定对于S(x)=p q-1=0sxFF2x,w遍历FF2的扩域中的p q次单位根时,S(w)是否为零.这个结果将很复杂,如文献7 所示,本文中省略.1 自相关值分布这一节确定由引言(1)中定义的周期为n=p q的二元序列S=S(a,b,c)(对所有(a,b,c)0,13)的自相关值分布 CS()(0n-1).设R=ZZ,其中=1,x,x2,xn-1 为由x生成的阶为n=p q的乘法循环群.对的一个子集S,将S看成群环ZZ中的元素gSg.令 S(x)=Sa,b,c(x)=n-1=0(-1)sxR,有 S(x-1)S(x)=n-1,=0(-1)s+sx-=n-1=0 xn-1=0(-1)s+s.另一方面,由(1)式二元序列S=S(a,b,c)的定义可得,S(x)=(-1)c1+(-1)a(p-1)+(-1)b(q-1)+ZZ*p qpqx,其中p=q-1i=0 xi q,q=p-1j=0 xj q.对ZZ*p q,有s=121-pq,因此(-1)s=pq.那么最后一个求和式为 ZZ*p qpqx=q-1i=1p-1j=1j qpi pqxi p+j q=Gp(x)Gq(x),其中 Gp(x)=p-1j=1j qpxj qR,Gq(x)=q-1i=1i pqxi pR.因此 S(x)=e1+(-1)ap+(-1)bq+Gp(x)Gq(x)=H+Gp(x)Gq(x),(2)其中e=(-1)c-(-1)a-(-1)bZZ,H=e+(-1)ap+(-1)bq.因为,(g)=g-1是群的自同构,所以有(p)=p,(q)=q并且 (Gp(x)=p-1j=1j qpx-j q=p-1j=1-j qpxj q=-1pGp(x),(Gq(x)=-1qGq(x),由(2)得 S(x-1)=(S(x)=H+-1p-1qGp(x)Gq(x).(3)为了计算S(x)S(x-1)在R中的值,将利用如下引理,此引理中Gp(x)与Gq(x)分别可以看作取值于R中的FFp与FFq上二次高斯和版本.引理1 在群环R=ZZ 中,有723A)G2p(x)=-1p(p1-q),G2q(x)=-1q(q1-p);B)pGq(x)=qGp(x)=0,pq=.证 A)由Gp(x)的定义,有 G2p(x)=p-1,=1pxq(+)(令=)=p-1=1pp-1=1xq(+1)=-1p(p-1)1+p-2=1pp-1=1xq=-1p(p-1)1+-1p(q-1)=-1p(p1-q).类似地,有G2q(x)=-1q(q1-p).B)因为n=p q为不同素数p与q的乘积,所以得到pq=pq(直积)=.由p=q-1i=0 xp i可知,对每一个i有xp ip=p.因此 pGq=q-1i=1i pqxp ip=q-1i=1i pqp=0.类似地,有qGp=0.根据引理1与(2),(3)可得 S(x-1)S(x)=(H+Gp(x)Gq(x)H+-1p-1qGp(x)Gq(x)=H2+1+-1p-1qHGp(x)Gq(x)+(p1-q)(q1-p),(4)并且 H2=(e1+(-1)ap+(-1)bq)2(e=(-1)c-(-1)a-(-1)b)=e21+pp+qq+2(e(-1)ap+e(-1)bq+(-1)a+bpq)=e21+q p+p q+2(e(-1)ap+e(-1)bq+(-1)a+b)(pp=|p|p=q p),HGp(x)Gq(x)=e Gp(x)Gq(x),(p1-q)(q1-p)=p q1-p p-q q+,则(4)变为 S(x-1)S(x)=(p q+e2)1+(q-p+2e(-1)a)p+(p-q+2e(-1)b)q+(1+2(-1)a+b)+e1+-1p-1qGp(x)Gq(x).(5)因为Gp(x)Gq(x)=ZZ*p qpqx,Px=p-1,Qx=q-1并且 =1+(p-1)+(q-1)+*,其中*=ZZ*p qx,所以 S(x-1)S(x)=p q+(q-p+2e(-1)a)(p-1)+(p-q+2e(-1)b)(q-1)+(1+2(-1)a+b)(p-1)+(q-1)+*+e1+-1p-1qGp(x)Gq(x)=p q+(q-p+2(-1)a+c-1)(p-1)+(p-q+2(-1)b+c-1)(q-1)+823ZZ*p qe1+-1p-1qpq+1+2(-1)a+bx.因此可得2元序列S=S(a,b,c)的如下自相关分布结果:定理1 令(a,b,c)0,13,S=S(a,b,c)为由(1)定义的周期为n=p q的二元序列,则对0n-1,有 CS()=p q,若=0,(q-p)+2(-1)a+c-1,若P,(p-q)+2(-1)b+c-1,若Q,1+2(-1)a+b+(-1)c-(-1)a-(-1)b)1+-1p-1qpq,若ZZ*p q.注记1 A)如果q-p2(m o d4),则n=p qp(p+2)3(m o d4),-1p-1q=-1.根据定理1,S=S(a,b,c)的非平凡自相关值取值为q-p+2(-1)a+c-1,p-q+2(-1)b+c-1和1+2(-1)a+b.特别地,A.1)如果q=p+2,(a,b,c)=(1,0,0)或(0,1,1),序列S=S(a,b,c)是理想自相关序列,即 C s()=-1对所有1n-1.A.2)如果q=p+2,(a,b,c)=(0,0,0)或(1,1,1),序列S=S(a,b,c)的自相关值为C s()=-1或3对所有1n-1.B)如果q-p=0(m o d4),则n=p q1(m o d4),-1p-1q=1.根据定理1,S=S(a,b,c)的非平凡自相关值取值为q-p+2(-1)a+c-1,p-q+2(-1)b+c-1,1+2(-1)a+b2(-1)c-(-1)a-(-1)b).特别地,如果q=p+4,(a,b,c)=(1,0,0)或(0,1,1),序列S=S(a,b,c)为最优自相关序列,即C s()=1或-3对所有1n-1.2 2-a d i c复杂度这一节将确定二元序列S=S(a,b,c)(对所有(a,b,c)0,13)的2-a d i c复杂度的精确值.定义18 对一个周期为n的二元序列S=sn-1=0,其中s0,1.令T(2)=n-2=0s2ZZ.序列S的2-a d i c复杂度定义为 AS(2)=l o g22n-1d,其中d=g c d(T(2),2n-1).现在考虑S=S(a,b,c).令T(x)=n-1=0sxR,则 2T(x)=n-1=0(1-(-1)s)x=n-1=0 x-n-1=0(-1)sx=n-1=0 x-S(x).上式在R=ZZ 中可以写成以下形式 2T(x)=n-1=0 x-S(x)-S(x)+xn-1x-1(m o dxn-1)(n=p q).取x=2,有 2T(2)-S(2)+2n-1=-S(2)(m o d2n-1).因此d=g c d(T(2),2n-1)=g c d(S(2),2n-1).对于在R中的式(2),取x=2可得 S(2)e+(-1)bp-1j=02q j+(-1)aq-1i=02p i+Gp(2)Gq(2)(m o d2n-1)e+(-1)b2n-12q-1+(-1)a2n-12p-1+Gp(2)Gq(2)(m o d2n-1),(6)其中e=(-1)c-(-1)a-(-1)b,Gp(2)=p-1j=0q jp2q j,Gq(2)=q-1i=0p jq2p iZZ.923类似地,在(3)中取x=2,可得 S(2-1)e+(-1)b2n-12q-1+(-1)a2n-12p-1+-1p-1qGp(2)Gq(2)(m o d2n-1).(7)令dp=g c d(S(2),2p-1),dq=g c d(S(2),2q-1),d*=g c dS(2),2n-1(2p-1)(2q-1).引理2 1)d*=1,dp=g c d(e+(-1)aq,2p-1),dq=g c d(e+(-1)bq,2q-1),其中e=(-1)c-(-1)a-(-1)b.2)如果4pq+1,则dp=1.如果4qp+1,则dq=1.3)d(=g c d(S(2),2n-1)=m a x(dp,dq).特别地,如果1 6p4q+4p+5,则d=1,并且二元序列S=S(a,b,c)有最大2-a d i c复杂度l o g2(2p q-1).证1)首先证明d*=1.由(6)可得 S(2)e+Gp(2)Gq(2)(m o d2n-1(2p-1)(2q-1)(n=p q).在引理1中令x=2可得 G2p(2)-1p(p-p-1i=02q j)-1p(p-2n-12q-1)-1pp(m o d2n-1(2p-1)(2q-1).类似地,有 G2q(2)-1qq(m o d2n-1(2p-1)(2q-1).假设d*1.设是d*=g c d(S(2),2n-1(2p-1)(2q-1)的素数因子.则|S(2),并且|2n-1(2p-1)(2q-1).因此2p q1(m o d),因此可得2(m o d)的阶为p,q或p q,以及 0S(2)e+Gp(2)Gq(2)(m o d).由此可得 e2(Gp(2)Gq(2)2-1p-1qp q(m o d).(8)这意味着|p qe2,其中e2=1或9.如果2p1(m o d),由费马小定理可得p|-1.因为和p都是奇素数,所以p-12.另外,由 02p q-1(2p-1)(2q-1)12q-1q-1=02p12q-1q-1=01q2q-1(m o d)可得=q.接下来由|p qe2可得|e.因此=3.另外,因为p,q和n=p q都是奇数,所以有下式 02n-1(2p-1)(2q-1)1(m o d3),矛盾.因此2p1(m o d).类似地,有2q1(m o d).所以2(m o d)的阶为p q.则p q|-1.由此以及|p qe2可得12(p q+9),p q12(-1).因此42p q+1 82(-1)+1 8=2+1 6,故8.由12(-1)p q1 5可得3 1,矛盾.因此d*没有素因子,即d*=1.下面计算dp=g c d(S(2),2p-1).由(6)可得 S(2)e+(-1)a2p q-12p-1+Gp(2)Gq(2)(m o d2p-1).因为 2p q-12p-1q(m o d2p-1),Gq(2)=q-1i=1p iq2p iq-1i=1p iq0(m o d2p-1),所以S(2)e+(-1)aq(m o d2p-1),dp=g c d(S(2),2p-1)=g c d(e+(-1)aq,2p-1).类似可得dq=g c d(e+(-1)bp,2q-1).0332)假设dp1.设是dp=g c d(e+(-1)aq,2p-1)的素因子,则p|-12且|12(q+(-1)ae),12(q+(-1)ae)12(q+3),因此4p2-2q+3-2=q+1.由此可知,当4pq+1时,dp=1.类似地,当4qp+1时,dq=1.3)由d*=1以及g c d(2p-1,2q-1)=1可得d=g c d(S(2),2n-1)=g c d(S(2),(2p-1)(2q-1)=g c d(S(2),2p-1).g c d(S(2),2q-1)=dpdq.但是4pq+1和4qp+1不能同时成立.由此可知dp=1或dq=1.因此d=m a x(dp,dq).综上,可得下述定理.定理2 令(a,b,c)0,13,S=S(a,b,c)是由(1)定义的周期为n=p q的二元序列,则A)序列S的2-a d i c复杂度为 AS(2)=l o g2(2n-1m a x(dp,dq),其中dp=g c d(q-1+(-1)a+c-(-1)a+b,2p-1),dq=g c d(p-1+(-1)b+c-(-1)a+b,2q-1).B)当4pq+1时,有dp=1.当4qp+1时,有dq=1.特别地,如果1 6p4q+4p+5,则对所有(a,b,c)0,13,序列S(a,b,c)的2-a d i c复杂度都达到最大值l o g2(2n-1).注记2 在引言中列出了理想或最优自相关序列S=S(a,b,c)的参数,对于这些序列,有q=p+2或p+4,因此p和q满足1 6p4q+4p+5.由定理2之B)可得,这些序列的2-a d i c复杂度都达到最大值l o g2(2p q-1).参考文献:1 MA S S E YJ.S h i f t-r e g i s t e rS y n t h e s i sa n dB CH D e c o d i n gJ.I E E E T r a n s a c t i o n so nI n f o r m a t i o nT h e o r y,1 9 6 9,1 5(1):1 2 2-1 2 7.d o i:1 0.1 1 0 9/t i t.1 9 6 9.1 0 5 4 2 6 02 K L A P P E RA,C O R E S KY M.C r y p t a n a l y s i sB a s e do n2-a d i c R a t i o n a lA p p r o x i m a t i o nC/A d v a n c e si n C r y p t o l o g y-C R Y P T O 9 5,1 5 t hA n n u a l I n t e r n a t i o n a lC r y p t o l o g yC o n f e r e n c e,S a n t aB a r b a r a,2 7-3 1,1 9 9 53 B R AN D S T A T T E RN,W I N T E RHO FA.S o m eN o t e so nt h eT w o-p r i m eG e n e r a t o ro fO r d e r2J.I E E ET r a n s a c t i o n so nI n f o r m a t i o nT h e o r y,2 0 0 5,5 1(1 0):3 6 5 4-3 6 5 7.d o i:1 0.1 1 0 9/t i t.2 0 0 5.8 5 5 6 1 54 D I NGCS.A u t o c o r r e l a t i o nV a l u e so fG e n e r a l i z e dC y c l o t o m i cS e q u e n c e so fO r d e rT w oJ.I E E ET r a n s a c t i o n so n I n f o r m a-t i o nT h e o r y,1 9 9 8,4 4(4):1 6 9 9-1 7 0 2.d o i:1 0.1 1 0 9/1 8.6 8 1 3 5 45 WH I T EMANA L.A F a m i l yo fD i f f e r e n c eS e t sJ.I l l i n o i sJ o u r n a lo f M a t h e m a t i c s,1 9 6 2,6(1):1 0 7-1 2 1.d o i:1 0.1 0 0 7/b f 6 0 0 6 1 2 6 56 B A IEJ,L I UXJ,X I AOCZ.L i n e a rC o m p l e x i t yo fN e wG e n e r a l i z e dC y c l o t o m i cS e q u e n c e so fO r d e rT w oo fL e n g t hp qJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nI n f o r m a t i o nT h e o r y,2 0 0 5,5 1(5):1 8 4 9-1 8 5 3.d o i:1 0.1 1 0 9/t i t.2 0 0 5.8 4 6 4 5 07 D I NGCS.L i n e a rC o m p l e x i t yo fG e n e r a l i z e dC y c l o t o m i cB i n a r yS e q u e n c e so fO r d e r 2J.F i n i t eF i e l d sa n dT h e i rA p p l i c a-t i o n s,1 9 9 7,3(2):1 5 9-1 7 4.d o i:1 0.1 0 0 6/f f t a.1 9 9 7.0 1 88 HO F E RR,W I N T E RHO FA.O nt h e2-a d i cC o m p l e x i t yo f t h eT w o-p r i m eG e n e r a t o rJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nI n f o r m a-t i o nT h e o r y,2 0 1 8,6 4(8),5 9 5 7-5 9 6 0.d o i:1 0.1 1 0 9/t i t.2 0 1 8.2 8 1 1 5 0 79 HU H G.C o mm e n t so n AN e w M e t h o dt oC o m p u t e t h e2-a d i cC o m p l e x i t yo fB i n a r yS e q u e n c e s J.I E E ET r a n s a c t i o n so nI n f o r m a t i o nT h e o r y,2 0 1 4,6 0(9):5 8 0 3-5 8 0 4.d o i:1 0.1 1 0 9/t i t.2 0 1 4.2 3 3 6 8 4 31 0 S UNY H,WAN GO,YANTJ.Al o w e rb o u n do nt h e2-a d i cC o m p l e x i t yo f t h eM o d i f e dJ a c o b i S e q u e n c eJ.C r y p t o g r a-p h ya n dC o mm u n i c a t i o n s,2 0 1 8,1 1(2):3 3 7-3 4 9.d o i:1 0.1 0 0 7/s 1 2 0 9 5-0 1 8-0 3 0 0-y1 1 X I ONG H,QULJ,L iC.AN e w M e t h o dt oC o m p u t e t h e2-a d i cC o m p l e x i t yo fB i n a r yS e q u e n c e sJ.I E E ET r a n s a c t i o n so nI n f o r m a t i o nT h e o r y,2 0 1 4,6 0(4):2 3 9 9-2 4 0 6.d o i:1 0.1 1 0 9/t i t.2 0 1 4.2 3 0 4 4 5 11 2 YANG M H,F E NG K Q.D e t e r m i n a t i o no f2-a d i cC o m p l e x i t yo fG e n e r a l i z e dB i n a r yS e q u e n c e so fO r d e r2J.h t-t p s:/d o i:1 0.4 8 5 5 0/a r x i v.2 0 0 7.1 5 3 2 7(责任编辑 端菲菲)133