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第四章　曲线运动　万有引力与航天
学案16 曲线运动、运动的合成与分解

一、概念规律题组
1．关于曲线运动，下列说法中正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动不可能是匀变速运动
D．变加速运动一定是曲线运动
2．下列说法中正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体一定具有加速度
B．做曲线运动的物体的加速度一定是变化的
C．物体在恒力的作用下，不可能做曲线运动
D．物体在变力的作用下，只能做曲线运动
3．在曲线运动中下列现象可能出现的有(　　)
A.平均速度不等于零，平均速率不等于零
B.平均速度不等于零，平均速率等于零
C.平均速度等于零，平均速率不等于零
D.平均速度等于零，平均速率等于零
4．关于运动的合成与分解，以下说法中不正确的是(　　)
A．由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的
B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法
C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替
二、思想方法题组
5．如图1所示，物体在恒力F的作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向，大小不变，即由F变为－F.在此力作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法中正确的是(　　)

图1
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回到A
6．雨滴由高层建筑的屋檐边自由下落，遇到水平方向吹来的风．关于雨滴的运动，下列判断正确的是(　　)
A．风速越大，雨滴下落的时间越长
B．无论风速多大，雨滴下落的时间不变
C．风速越大，雨滴落地时的速度越小
D．无论风速多大，雨滴落地时的速度不变

一、对曲线运动规律的进一步理解
1．运动类型的判断
(1)判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力．
(2)判断物体是否做曲线运动，要分析合外力方向是否与速度方向在同一条直线上．
2．运动类型的分类
(1)直线运动
①匀速直线运动，条件：F合＝0.
②匀变速直线运动，条件：F合为恒力、不等于零且与速度同线．
③非匀变速直线运动，条件：F合为变力且与速度同线．
(2)曲线运动
①匀变速曲线运动，条件：F合≠0，为恒力且与速度不同线．
②非匀变速曲线运动，条件：F合≠0，为变力且与速度不同线．
3．两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动．

两个互成θ角度(0°<θ<180°)的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、
一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的
匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度
不为零的匀
变速直线运动
如v合与a合共线，为匀变速直线运动
如v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【例1】 一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后(　　)
A．一定做匀变速直线运动
B．在相等时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
[规范思维]

[针对训练1]　下图中，能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是(　　)

二、运动的合成和分解
1．原则：当定量研究一个较复杂的曲线运动时，往往按实际效果把它分解为两个方向上的直线运动．
2．运动的合成与分解的运算法则
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图2所示．

图2
(3)两分运动垂直或正交分解后的合成a合＝，v合＝，x合＝.

图3
【例2】 (2010·江苏单科·1)如图3所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
[规范思维]

[针对训练2]　(2010·上海单科·12)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞(　　)
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
三、两种典型模型
1．小船过河问题模型
(1)涉及的三个速度： v1：船在静水中的速度
v2：水流的速度
v：船的实际速度
(2)小船的实际运动是合运动，两个分运动分别是水流的运动和船相对静水的运动．
(3)两种情景
①怎样渡河，过河时间最短？
船头正对河岸，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②怎样渡河，路径最短(v2<v1时)?
合速度垂直于河岸时，航程最短，x短＝d，船头指向上游，与河岸的夹角为α，cos α＝.
2．绳连物体问题模型
物体的实际运动为合运动，解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳方向的两个分量，根据绳连物体沿绳方向的分速度大小相同求解．
【例3】 一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度vx图象和水流的速度vy图象如图4甲、乙所示，则下列说法中错误的是(　　)

图4
A．快艇的运动轨迹为直线
B．快艇的运动轨迹为曲线
C．快艇最快到达浮标处的时间为20 s
D．快艇最快到达浮标处经过的位移大于100 m
[规范思维]

图5
[针对训练3]　一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图5所示．关于物体的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体做匀变速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体运动的初速度大小是5 m/s
D．物体运动的加速度大小是5 m/s2
【例4】 如图6所示，

图6
物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F拉B沿水平面向左“匀速”运动过程中，绳对A的拉力的大小(　　)
A．大于mg B．总等于mg
C．一定小于mg D．以上三项都不正确
[规范思维]

图7
[针对训练4]　如图7所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A运动的速度大小为vA，小球B运动的速度大小为vB，轻绳与杆的夹角为θ.则(　　)
A．vA＝vBcos θ
B．vB＝vAsin θ
C．小球B减小的势能等于物块A增加的动能
D．当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大

【基础演练】
1．(2011·衢州模拟)下面说法中正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体速度方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
2.

图8
如图8所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的(　　)
A．直线P
B．曲线Q
C．曲线R
D．无法确定
3．(2009·广东理科基础·6)船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为(　　)

图9
4．如图9所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是(　　)
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小

图10
5．如图10所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时(　　)
A．人拉绳行走的速度为vsin θ
B．人拉绳行走的速度为v/cos θ
C．船的加速度为
D．船的加速度为
6.

图11
(2011·广州模拟)如图11所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37˚角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为(　　)
A．2 m/s B．2.4 m/s
C．3 m/s D．3.5 m/s
7．(2009·江苏单科·4)在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，下列描绘下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的关系图象，可能正确的是(　　)

【能力提升】

图12
8．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，从t＝0时刻起受到如图12所示随时间变化的外力作用，Fy表示沿y轴方向的外力，Fx表示沿x轴方向的外力，下列说法中正确的是(　　)
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)
D．4 s末物体坐标为(4 m,12 m)
9．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m，流速为4 m/s的河流中渡河，则下列说法错误的是(　　)
A．小船不可能到达正对岸
B．小船渡河时间不少于50 s
C．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．小船以最短位移渡河时，位移大小为150 m
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案

10.如图13甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动，假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点．

　　　　　　 图13
(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的运动轨迹．
(2)求出玻璃管向右平移的加速度．
(3)求t＝2 s时蜡块的速度v.

学案16　曲线运动　运动的合成和分解
【课前双基回扣】
1．AC　[从曲线运动的概念和性质入手加以判定．曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动．当变速运动的速度方向不变而大小变化时，是直线运动．当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动．做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动．]
2．AD　[物体做直线运动还是曲线运动，不取决于物体受到的是恒力还是变力，而取决于物体所受到的合外力方向与速度方向在不在一条直线上，故D正确而C错误．做曲线运动物体的速度方向时刻改变，则一定具有加速度，但加速度的变化取决于合外力怎样变化，故A正确，B错误．]
3．AC　[物体在曲线运动中位移可能为0，但路程一定不为0.]
4．ABD　[根据平行四边形定则，两个分运动的合运动就是以两个分运动为邻边的平行四边形的对角线，A正确．而将合运动分解为两个分运动时，可以在不同方向上分解，从而得到不同的解，B正确．任何形式的运动都可以分解，如竖直上抛运动可以分解成自由落体运动和匀速直线运动的合运动，故C不对，D正确．]
5．C

[如图所示，已知物体过B点的速度方向vB沿Bb方向，要判断此后的运动方向，必须找出－F的方向范围，因此先要判断F的方向范围．由物体在恒力F的作用下运动轨迹为沿A到B的曲线知道，F的方向范围在θ角以内，不包括Ab′的方向，若如此则B点要在无穷远处才能使vB沿Bb方向；也不包括Aa′的方向，若如此则物体将沿vA的方向做匀减速直线运动，不可能沿AB做曲线运动．在B点F反向为－F的方向必在θ′角以内．因此，只有沿Bc的方向是可能的．]
6．BC　[由运动的独立性知，雨滴在竖直方向做自由落体运动，下落时间由高度决定，故选项B正确；当水平方向有风且风速越大时，雨滴在水平方向上做加速运动，速度越大，雨滴落地的速度v＝，可知v也越大，选项C正确．]
思维提升
1．判断物体是否做曲线运动要紧紧抓住力的方向是否与速度方向在一条直线上；而物体是否做匀变速运动，则要看物体是否受大小、方向不变的恒力作用，两者不要混淆．
2．速度分解的一般原则是按实际效果来进行分解，常用的思维方法有两种：一种是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方向；另一种是先确定合运动的速度方向(物体实际的运动方向就是合速度的方向)，然后确定由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
3．第5题采用了极端分析法确定出θ角的两个边界Ab′和Aa′，进而推理得到θ′角，然后根据曲线运动的轨迹和受力的关系——运动轨迹弯向合外力一侧，确定出物体运动的轨迹．
4．对于较复杂的运动，要善于将其分解为两个不同的运动，从而按运动的合成与分解的一般方法求解有关问题．
【核心考点突破】
例1 AB　[恒力F1和F2的合力仍为恒力，物体由静止开始做匀加速直线运动，若运动过程中F1突然增大到F1＋ΔF，虽仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，故物体将做匀变速曲线运动，选项A正确而C、D错误；由Δv＝a·Δt可知，选项B正确．]
[规范思维]　先判断是曲线运动还是直线运动，方法是看合外力的方向与速度的方向是否在一条直线上；再判断加速度是否变化，方法是看F合是否变化．
例2 A　[笔匀速向右移动时，x随时间均匀增大，y随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速直线运动，竖直方向也是匀速直线运动，所以橡皮实际运动是匀速直线运动，A正确．]
[规范思维]　首先按运动的效果将橡皮的运动分解为：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的运动，再由题给条件判断竖直分运动为匀速直线运动．
例3 BC　[快艇实际运动的两个分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，且不在同一直线上，故快艇的运动轨迹为曲线，A错，B对．最快到达浮标处的方式是使vx垂直于河岸和浮标且保持图甲所示的加速度a＝0.5 m/s2做匀加速直线运动，则at2＝x，代入x＝100 m有t＝20 s，C项正确．但实际位移为x′>100 m，D项错．]
[规范思维]　(1)首先根据运动的等时性确定船头垂直岸(即vx垂直岸)时最快．
(2)再将艇的运动分解为沿河岸的匀速直线运动和垂直于河岸的匀加速直线运动，并由此确定轨迹．
例4 A

[物体B向左的速度vB是合速度，根据其效果，分解为如右图所示的两个速度v1和v2，其中v2＝vA，又因v2＝vBcos θ，当物体B向左匀速运动时，vB大小不变，θ变小，cos θ增大，所以v2增大，即物体A向上做加速运动，由牛顿第二定律得FT－mg＝ma，可知：FT＝mg＋ma>mg，故A正确．]
[规范思维]　(1)在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动情况确定，分速度由合速度所产生的实际效果利用平行四边形定则确定．
(2)对绳连物体的问题进行分析时，物体的速度一般分解为沿绳方向和垂直于绳方向两个分速度．
[针对训练]
1．AC　[物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，所受合外力(或加速度)的方向指向曲线的凹侧．]
2．D　[风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A、B两项均错．风速越大，落地时合速度越大，故C项错误，D项正确．]
3．AC　[根据运动的合成与分解v合＝＝5 m/s，C正确．从图象得物体的加速度a＝2 m/s2，由于物体在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀加速直线运动，且合初速度的方向与合加速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，A正确．]
4．BD

[vA可分解为沿绳方向和垂直绳方向的两个分速度，如右图所示．而小球B的速度等于沿绳方向的分速度，即vB＝vAcos θ，故B正确；根据能量守恒可知，小球B减小的势能等于物块A增加的机械能和小球B增加的动能之和，C错；当物块A上升到与滑轮等高时，vA沿绳方向分速度为0，即vB＝0，小球B运动到最低点，减少的重力势能全部转化为A的机械能，故此时A的机械能最大，D正确．]
【课时效果检测】
1．A　2.B　3.C
4．A　[质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，C错误．由B点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力做正功，速率增大，A正确．A点的加速度方向与沿曲线在A点的切线也即速度方向夹角大于90°，B错误．从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误．]
5．AC

　[船的运动产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮逆时针转动，因此将船的速度分解如右图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcos θ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－Ff＝ma，得a＝，C对，D错．]
6．B

　[由右图知船合速度沿AB方向，当v船与AB垂直时，v船最小．所以，v船＝v水·sin 37˚＝4× m/s＝2.4 m/s，B项正确．]
7．B　[跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变且方向竖直向下，还受到空气阻力，其始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小．在水平方向上，运动员受
到的合力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动．在竖直方向上运动员在重力与空气阻力在竖直方向上的分力的共同作用下先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动．由以上分析结合v－t图象的性质可知只有B选项正确．]
8．AD　[前2 s内物体只受x轴方向的作用力，故沿x轴做匀加速直线运动，A正确；其加速度为ax＝2 m/s2，位移为x1＝axt2＝4 m．后2 s内物体沿x轴方向做匀速直线运动，位移为x2＝8 m，沿y轴方向做匀加速直线运动，加速度为ay＝2 m/s2，位移为y＝ayt2＝4 m，故4 s末物体坐标为(12 m,4 m)，C错误，D正确；后2 s内物体的加速度方向和初速度方向垂直，故做曲线运动，B错误．]
9．ABC　[当船头正对河岸时，t最短，t最短＝＝ s＝50 s，此时小船沿水流方向的位移为x＝v水t＝200 m，因此B、C正确．由于v水>v船，所以船不可能到达正对岸，位移一定大于河宽150 m．A项正确，D项错误．]
10．(1)见解析图　(2)5×10－2 m/s2　(3) m/s
解析　(1)蜡块在竖直方向做匀速直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据画出蜡块4 s内的运动轨迹如下图所示．

(2)由于玻璃管向右为匀加速平移，根据Δx＝aΔt2可求得加速度，由题中数据可得：Δx＝5.0 cm，相邻时间间隔为Δt＝1 s，则a＝＝5×10－2 m/s2
(3)由运动的独立性可知，竖直方向的速度为
vy＝＝0.1 m/s
水平方向做匀加速直线运动，2 s时蜡块的水平速度为
vx＝at＝0.1 m/s
则2 s时蜡块的速度
v＝＝ m/s