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二阶导数的意义

二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率
（2）函数的凹凸性。
（3）判断极大值极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

一、用二阶导数判断极大值或极小值定理
设在二阶可导，且．
(1) 若，则在取得极大值；
(2) 若，则在取得极小值．
例 试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．
解 ．
由假设知，从而有，即．
又当时，，且
，所以在处取得极大值，且极大值．
例 求函数的极大值与极小值．
解 在上连续，可导．令
，
得 和，
思考： 在取得极大还是极小值？在取得极大还是极小值？

-1代入二阶导数表达式为-12，在取得极大值
3代入二阶导数表达式12，在取得极小值

三、函数图像凹凸定理 若在内二阶可导，
则曲线在内的图像是凹曲线的充要条件是，．
曲线在内的图像是凸曲线的充要条件是，。

几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

１. 曲线的凸性

对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸，而图1—2中的曲线为向上凸．

图 1—1 图 1—2

定义4.5.1 设在内可导，若曲线位于其每点处切线的上方，则称它为在内下凸(或上凹)；若曲线位于其每点处切线的下方，则称它在内上凸(或下凹)．相应地，也称函数分别为内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)．

从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率(其中为切线的倾角)随着的增大而增大，即为单增函数；上凸曲线斜率随着的增大而减小，也就是说，为单减函数．但的单调性可由二阶导数来判定，因此有下述定理．
定理4.5.1 若在内二阶可导，则曲线在内下凸(凹函数)的充要条件是
．
例1 讨论高斯曲线的凸性．
解 ，．所以
当，即当或时；
当，即当时．
因此在区间与内曲线下凸；在区间内曲线上凸．

四川高考数学2006——理22压轴题
22，已知函数，证明f(x)的导函数f’(x)对于任意两个不相等的正数x1，x2，当时，有
证法一：由

=

比较大小，会算吗？

二阶导数QM法：
欲证
即证函数图像是凹的，
只需证f’’(x)>0，()

问题得证