武汉市武昌区2013届高三期末调研考试数学(文)试题.doc

武汉武昌2013届高三期末调研考试数学（文） 试题
本试题卷共4页，共22题。满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U=R，集合A={x|lg（x+1）≤0}，B={x| 3x ≤1}，则u（AlB）= （ ）
A．（,0）（0,+） B．（0,+∞）
C．（-∞，-1]（0，+∞） D．（-1,+∞）
2．复数（i为虚数单位）的值是 （ ）
A．1 B．-1 C．-i D．i
3．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 （ ）
A．所有奇数的立方都不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
4．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时~ 24时）体温的变化情况的图是 （ ）

5．在△ABC中，A=，a=l，6=，则B= （ ）
A． B． C．若 D．若
6．已知直线⊥平面，直线m平面，有下列命题：
①∥⊥m； ②⊥∥m；③∥m⊥； ④⊥m∥．
其中正确的命题是 （ ）
A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③
7．若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为 （ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，函数y= cosx和函数y=tanx的定义域都是，它们的交点为P，则点P的纵坐标为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线（a>0，b>0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1·k2的值为 （ ）
A．2 B．3 C． D．
10．若不等式2x≥logax对任意的x>0都成立，则正实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可垧不得分．
11．已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为 ．

12．阅读如图所示的程序框图，输出的S的值为 ．
13．已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60 o，则a+b在a方向上的投影为 ．
14．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按l～40编号，并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．
（I）若第1组抽出的号码为2，则听有被抽出职工的号码为 ；
（Ⅱ）分别统计这5名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图
如图所示，则该样本的方差为 ．
15．已知圆x2 +y2 =4上恰好有3个点到直线/：y =x +b的距离都等于l，则
b= 。
16．在等差数列{an}中，a1 =2，a3 =6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 ．
17．10进制的四位自然数的反序数是指千位与个位位置对调，百位与十位位置对调的数，例如4 852的反序数就是2 584．1955年，卡普耶卡（D．R．Kaprekar）研究了对四位自然数的一种变换：任给出四位数ao，用ao的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n，得出数a1=m－n，然后继续对a1重复上述变换，得数a2，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论ao是多大的四位数,只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t．请你研究两个10进制四位数5 298和4 852，可得k= ；四位数t= 。
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分） ．
已知函数g（x）= Asin（）（A>0， >0，0<<）的图象如图所示，其中点A（，2）、 B（）分别是函数的最大值点和零点．
（I）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）= 2g（x）cosx+m在[0，]上的最大值为6，求函数f（x）在R上的最小值及相应的x值的集合．

19．（本小题满分12分）
已知等差数列{ an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S5 =4a3 +5，且a1；a2；a5成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2，n∈N*时，求。

20．（本小题满分13分）
如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o．
（Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值．

21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x= -4的距离相等．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；
（Ⅱ）已知点Q（l，1），直线l：y=x+m（m∈R）和轨迹C相交于 A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=（k为常数，e=2．71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（l,f（l））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意0<x<1，g（x）<1 +e－2

参考答案
一、选择题：
1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．B
二、填空题：
11． 12. 13. 2 14.（Ⅰ） 2,10,18,26,34；（Ⅱ） 62
15． 16. 17. ；
三、解答题：
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据图象可知，解得.
所以.
又A=2，所以.
将点A点的坐标代入函数，得，
所以.
依题意，.
所以， .………………………………………………（6分）
（Ⅱ）

. ………………………………………………（9分）
由，得，
于是函数的最大值为，解得.
所以.
当时，最小值为，此时x满足
相应的x值的集合为. ……………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，. ① ………………………………（2分）
因为，，成等比数列，
所以，. ② ………………………………（4分）
由①，②及，得.
所以. ………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由，可知.
所以当，时，.
又. …………………………………（9分）
所以，

.
所以，=. …………………………………（12分）
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，，，
所以.
所以，二面角的平面角为，所以.
又，
∴平面.
又平面，
∴平面平面. ………………………………………………（6分）
（Ⅱ）过点作，交AD的延长线于点.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∴为侧棱在底面内的射影.
所以，为侧棱和底面所成的角.………………………（10分）
S
B
C
A
D
H
在中，，
，.
在中，，
，∴.
在中，.
即的正弦值为．……………………………………………………（13分）
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设是点P到定直线的距离，，根据题意，
所求轨迹就是集合.
由此，得. ………………………………………（3分）
平方化简得，即.
所以，点P的轨迹是长轴、短轴长分别为，，焦点在x轴上的椭圆.……（6分）
（Ⅱ）设直线和轨迹C相交于、两点.
联立方程得：
消去，得.
上式有两个不同的实数根，.
且，. ……………………………………（9分）
于是，.
点Q到的距离为.
所以，的面积
.
当且仅当，即时，，取得最大值，最大值为.……………………………………………………（14分）
22．（本小题满分14分）
解：（I），
由已知，，∴.………………………………………………（4分）
（II）由（I）知，.
设，则，即在上是减函数.
由知，当时，从而；
当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.………………（8分）
（III）由（II）可知当时，中的分母＞1，且，
∴.
设，，则.
当时，；当时，.
所以，当时，取得最大值.
所以.
综上，对任意，.……………………………………………………（14分）

·8·