经济数学－微积分第八章多元函数微分学(8.3-8.5).doc

微积分教案
章节
次数
第35讲：第八章 §8.3 全微分及其应用
教学目的要求
1. 理解全微分的概念。
2. 了解全微分存在的必要条件和充分条件。
3. 掌握全微分的计算。
主要内容

全微分的概念
全微分存在的必要条件和充分条件
全微分的计算

重点难点
弄清多元函数连续、可微、偏导存在的关系。
教学方法
和手段

以讲授为主，使用电子教案

课后作业练习

作业：332页 习题8-3：
1 ，2，3

备注

§8.3 全微分
教学目的与要求：理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。掌握全微分的计算。
教学重点（难点）：弄清多元函数连续、可微、偏导存在的关系。
一、全微分的定义
定义1 如果函数在点的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
为函数在点对应于自变量增量的全增量，记为，即
=
定义2 如果函数在点的全增量可以表示为，其中不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即 =.
函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.
定理 如果函数在点可微分, 则函数在该点连续.
因为

故函数在点处连续.
定理（可微的必要条件）　如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为
．
一元函数在某点的导数存在则微分存在；若多元函数的各偏导数存在，全微分一定存在吗？
例如在点处有；

如果考虑点沿着直线趋近于，
则
说明它不能随着而趋于0,故函数在点处不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理２（可微的充分条件）　如果函数的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分．
习惯上，记全微分为
例1 计算函数在点处的全微分.
解：
所求全微分
例2 求函数，当，，，时的全微分.
解：
例3 计算函数的全微分.
解： 解：
所求全微分
例4 试证函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点不连续，而在点可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分，讨论.
多元函数连续、可导、可微的关系（与一元函数有很大不同）：
一元函数在处
有极限
连续
可导
可微

偏导存在
且偏导连续
二元函数在处
有极限
连续
偏导存在
可微

其中“”表示可推出，“”表示不能推出。
思考题：
函数在点处可微的充分条件是:
（1）在点处连续；
（2）、在点的某邻域存在；
（3），当时是无穷小量；
（4）,当时是无穷小量.

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第36讲：第八章 §8.4多元复合函数的求导法则
教学目的要求
1. 熟练掌握复合函数一阶、二阶偏导数的计算。
2. 理解全微分形式不变性。
主要内容

多元复合函数的一阶、二阶偏导数
全微分形式的不变性

重点难点
多元复合函数的链式求导法则。
教学方法
和手段

以讲授为主，使用电子教案

课后作业练习

作业：339页 习题8-4：
1 ，2、(1)(3)(5)，4，5，6

备注

§8.4 多元复合函数的微分法
教学目的与要求：熟练掌握复合函数一阶、二阶偏导数的计算，理解全微分形式不变性。
教学重点（难点）：多元复合函数的链式求导法则。
一、链式法则
定理　如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：
．
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.

如

以上公式中的导数称为全导数.
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：
如果及都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
， .

链式法则如图示

,
特殊地: ，其中, 即
则
注意：把复合函数中的看作不变而对的偏导数；而把中的及看作不变而对的偏导数；和的区别与上面相同．
例1 设，而，， 求 和.
解: =
==
例2 设，而，，求全导数.
解:
例3 设，具有二阶连续偏导数，求和.
解: 令 记同理有

于是
二、全微分形式不变性　
设函数具有连续偏导数，则有全微分;当、时，有.
全微分形式不变性的实质：
无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.
例4 已知，求和.

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第37讲：第八章 §8.5 隐函数的求导公式 习题课
教学目的要求
1. 掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数及全微分的方法。
2. 会求由两个方程组成的方程组确定的隐函数的偏导数。
主要内容
一阶隐函数的偏导数
二阶隐函数的偏导数
重点难点
求隐函数的偏导数。
教学方法
和手段

以讲授为主，使用电子教案

课后作业练习

作业：344页 习题8-5：
1、2、3、4、6

备注

§8.5 隐函数的求导公式
教学目的与要求：会求隐函数的偏导数及全微分。
教学重点（难点）：求隐函数的偏导数。
一、一元隐函数求导公式
隐函数存在定理 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有
隐函数的求导公式
.
例１：验证方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在的值.
解：令，则
依定理知方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时
的函数．函数的一阶和二阶导数为

例2 已知，求.
解： 令 则

二、一元隐函数求导公式
隐函数存在定理 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 ， .
例3 设，求.
解：令则

例4 设，求，，.
思路：把看成的函数对求偏导数得，把看成的函数对求偏导数得，把看成的函数对求偏导数得.
解：令 则
把看成的函数对求偏导数得
整理得
把看成的函数对求偏导数得
整理得
把看成的函数对求偏导数得
整理得
思考题：已知，其中为可微函数，求

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