第四讲自由落体运动、竖直上抛运动、运动合成与分解.doc

第二章 直线运动
一、自由落体运动 竖直上抛运动
知识点析
自由落体运动:
1、条件：初速度为零、只受重力作用。
2、性质：初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动.
3、研究方法：一般以开始下落的位置为坐标原点，选取竖直向下方向为正方向建立坐标轴，其运动公式只需在匀变速直线运动的公式中令V0=0，a=g即可，如速度Vt=gt，位移y=.
竖直上抛运动
1、条件：具有竖直向上的初速度、只受重力作用。
2、研究方法：
（1） （1）              分段法：上升过程是初速度为V0、加速度大小为g的匀减速运动；下降过程是自由落体运动。
（2） （2）              整体法：全过程是初速度为V0、加速度为-g的匀减速运动。以抛出点为坐标原点，选取竖直向上方向为正方向建立坐标轴。其运动公式只需在匀变速直线运动的公式中令a=-g即可，如速度Vt=V0-gt，位移y=V0t-.
3、运动特点：
（1） （1）              上升的最大高度H=；
（2）对称性。
①运动过程的对称性；②上升与下落时间的对称性(如回到出发点时t上=t下=;③速率的对称性(如回到出发点时的速度Vt=-V0).

【例题析思】
自由落体运动是匀变速运动规律的具体应用,因此，熟练应用匀变速直线运动的规律来分析问题是其重点，又是难点。
A

B

C

D

图2-7

[例题1]如图2-7所示，用细线悬挂的矩形AB长为a，在B以下h处，有一长为b的无底圆筒CD，若将细线剪断，则（1）矩形AB的下端B穿过圆筒的时间是多少？（2）整个矩形AB穿过圆筒的时间是多少？
[析与解]解此题的关键在于把矩形AB穿圆筒的过程和对应的自由落体运动的位移分析清楚。
（1）矩形AB下端B穿过圆筒：
由B下落到C点（自由下落h）起到B下落到D点（自由下落h+b）止。由位移y=求得t=则B下落到C所需时间为t1=,B下落到D点所需时间为t1=,所求B穿过圆筒的时间是△t1=-.
(2)整个矩形AB穿过圆筒:
由B下落到C点(自由下落h)起到A下落到D点（自由下落h+a+b）止。所求时间是△t2=.
[思考1](90年上海)一个矿井深为125m,在井中每隔一定时间自由下落一小球.当第11个小球刚从井口开始下落时,第1个小球恰好到达井底,则相邻两个小球开始下落的时间间隔为 s,这时第3个小球和第5个小球相距 m.(g取m/s2)
[提示](1)第一个小球恰好到达矿井底的时间t===5(s),而第1个小球与第11个小球之间共有10个时间间隔,则相邻两个小球开始下落的时间间隔为△t=0.5s.
(2)关键在于确定小球自由下落的时间.第3个小球与第11个小球之间共有8个时间间隔,即t3=8△t=4s,又第5个小球与第11个小球之间共有6个时间间隔,即t3=6△t=3s.所以第3个小球和第5个小球相距△S=S3-S5=,代入数据得△S=35(m).
[例题2]某人站在高层楼房的阳台外用20m/s的速度竖直向上抛出一个石块,则石块运动到离上抛出点15m处所经历的时间是多少?(不计空气阻力,取g=10m/s2)
[析与解]由于位移是矢量,所以对应距离15m有上、下两个位移。根据公式y=V0t-,将y=15m代入表达式有15=20t-5t2,解得t1=1s,t2=3s.这是石块上升和下降两 次经过抛出点上方15m处所经历的时间。再将y=-15m代入表达式有-15=20t-5t2,解得t3=(2+)s，t4=(2-)s.显然t3是石块通过抛出点下方15m处所经历的时间.t4<0,没有物理意义，舍去.
[说明]公式中位移、速度和加速度皆为矢量,审题时要特别注意它们的方向,对得到的多个解也要逐一分析它们有没有物理意义.
[思考2]一个小球作竖直上抛运动,经过时间t1上升到位置x1,经过时间t2上升到位置x2,小球上升到最高点后下落到位置x2的时间为t3,继续下落到位置x1的时间为t4.求证重力加速度g=8(x2-x1)/[(t4-t1)2-(t3-t2)2].
[提示]此题求证结果较为复杂,若不加选择地套用竖直上抛运动公式,则很难理出头绪,但如果抓住竖直上抛运动中时间的对称性----从某一位置上升到最高点和从最高点落回该位置所用的时间相等,则可简化问题的处理.
设最高点到位置x1的距离为h1,则h1=g[(t4-t1)/2]2/2;
设最高点到位置x2的距离为h2,则h2=g[(t3-t2)/2]2/2;
而h1-h2=x2-x1.将以上三式整理即可证.
[说明]物理问题通常有多种不同的解法,利用对称性解题不失为一种科学的思维方法.一切可往返的匀变速直线运动(如沿着光滑斜面上滑的物体运动等),都具有对称性.须特别注意的是某些运动虽然具有往返过程(如子弹受空气阻力时上抛运动、沿粗糙斜面上滑的物体运动等),但是全过程加速度大小不是恒定值,因此不具有对称性.
【素质训练】
1、从高处释放一粒小石子,经过0.5s,从同一地点再释放一粒小石子,在两石子落地前,它们之间的距离( )
A.保持不变 B.不断减小
C.不断增大 D.根据两石子的质量的大小来决定
2、A球由塔顶自由落下,当落下am时,B球自距塔顶bm处开始自由落下,两球恰好同时落地,则塔高为 .
3、(99年上海)某同学身高1.8m,在运动会上他参加跳高比赛,起跳后身体横着越过了1.8m高度的横杆.据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)( )
A.2m/s B.4m/s
C.6m/s D.8m/s
4、从地面竖直上抛一个物体甲,同时在离地面某一高度处有另一物体乙自由下落,两物体在空中相遇(未发生碰撞)时的速率都是V,则( )
A、竖直上抛物体甲的初速度大小与物体 乙落地时的速度大小相等,都是2V
B、甲、乙在空中运动时间相等
C、甲上升的最大高度与乙开始下落时高度相同
D、两物体在空中相遇处一定是乙开始下落时高度的中点
5、气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距气球正下方距气球4m处有一石子以20m/s的速度竖直上抛，不计阻力，取g=10m/s2.则石子（ ）
A、一定能击中气球 B、一定不能击中气球
C、若气球速度减小，一定还能击中气球
D、若气球速度增大，一定不能击中气球
6、杂技演员每隔相等的时间向上抛出一个小球，若每个小球上升的高度都是1.25m，他共用4个小球，要想使节目连续不断地表演下去，在他手中总要有一个小球停留，则每个小球在他手中停留，则每个小球在他手中停留的时间应为 s.
7、（99全国）一个跳水运动员从离水面10m的平台向上跃起，举双臂直体离开台面。此时其重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高0.45m达到最高点.落水时身体竖直,手先入水.(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计).从离开跳台到手触水面,他可用于完成空中动作的时间是 s.(计算时,可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点.g取10m/s2,结果保留两位数字.)
8、一根矩形杆的长1.45m,从某一高处作自由落体运动,在下落过程中矩形杆通过一个2m高的窗口用时0.3s.则矩形杆的下端的初始位置到窗台的高度差为多少?(g取10m/s2,窗口到地面的高度大于矩形杆的长)
9、一个跳伞运动员从350m高空离开飞机跳伞下落,为了争取落得快、落得准,开始时未打开跳伞而自由下落,下落3.4s后打开跳伞,开伞以后则以2m/s2的加速度作匀减速下降,到达地面时的速度为4m/s,g取10m/s2
求(1)运动员在离开地面多高处拉开跳伞?
(2)运动员在空中共经历多长时间?

二、运动的合成与分解
知识点析
1、概念:已知物体的几个运动求其合运动叫做运动的合成.已知合运动,求几个分运动叫做运动的分解.合成与分解互为逆运算.
2、基本原理:
(1)独立性原理(叠加原理):一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,各自产生效果,互不干扰.合运动是各分运动的叠加.
(2)等时性原理:合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间.
3、运动合成的方法:加速度、速度和位移都是矢量，遵守矢量的合成法则。
(1)两分运动在同一直线上时，选取正方向,并确定各物理量的正负后，再代数相加减.
比如竖直上抛运动(速度Vt=V0-gt,位移y=V0t-)可以看成是竖直向上的匀速运动(速度V0,位移V0t)和竖直向下的自由落体运动(速度gt,位移)的合成.
(2)两分运动不在同一直线上时,按照平行四边形定则进行合成.
4、运动分解的方法:
(1)正交分解: 例如在物体平抛运动中,将运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向自由落体运动的两个分运动.
(2)根据物体运动的实际效果分解.
【例题析思】
[例题1]关于运动的合成,下列说法中正确的是( )
A、两个直线运动的合运动一定是直线运动
B、两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C、两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D、两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
θ

V

A

B

O

图2-8

V1

V2

V

θ

[析与解]物体运动的性质和轨迹由物体的初速度V0和加速度a来确定,比如a恒定则是匀变速运动,V0与a反向则是减速运动），V0与a之间互成一定角度,则曲线运动等．合运动的性质和轨迹也就当由合运动的初速度V0和加速度a来确定．
本题Ｂ选项中两个匀速直线运动的合运动的速度为恒定值，而加速度为零，故合运动仍是匀速直线运动．Ｄ选项中两个初速度为零的匀加速直线运动的恒定值，而初速度为零，故合运动仍是初速度为零的匀加速直线运动．ＡＣ选项中的合运动的初速度和加速度方向关系不确定，故不能断定合运动是否是直线运动．本题ＢＤ正确．
[思考１]如图２－８所示，用船Ａ拖着车Ｂ前进，假若船A以速度V匀速前进，则当绳与水平面的夹角为θ时，车运动的速度是多大?
[提示]首先要分析船A的运动与车B的运动之间有什么样的关系.船A的运动有这样两个实际效果:一方面使绳子OA伸长,另一方面使绳子OA绕O点转动.因此,船A的运动(合运动)可看作是这样两个分运动的合成:一是沿绳子方向的使绳子伸长的速度V1,二是垂直于绳子方向的使绳子转动的速度V2.显而易见,车运动的速度大小应等于绳子伸长的速度V1.
如图所示,画出合运动的速度V与两分运动的速度V1、V2的平行四边形，便可以求得车B的速度V1=Vcosθ.
[例题2]如图2-9所示,已知河宽为d,水流速度为v1,船在静水中的速度为v2.若船头指向与上游河岸的夹角为θ.求(1)过河时间t.(2)船到达河对岸的位置．
[析与解]船渡河的运动可看作是水流的运动（水冲船的运动）和船在静水中的运动（即高水不流动时船的运动）的合运动。分别作出速度与位移的矢量合成图。
O

V1

V2

S2

V

S

S1

d

B

A

图2-9

(1)根据分运动与合运动的等时性，有过河时间t===,结合已知条件可知选用t===计算方便。
(2)由图可见，船实际到达了河对岸的B点，设B点与河正对岸A点的距离为L，则有L=dctg－v1t= dctg－v1×=.
讨论：
①当v2cosθ=v1时，L=0，即船到达河的正对岸；
②当v2cosθ>v1时, L>0，即船到达河的正对岸偏上游；
③当v2cosθ<v1时，Ｌ<0,即船到达河的正对岸偏下游.
[思考2]在例题2中,若夹角θ可变,试分析(1)何时船渡河时间最短?此时船的实际位移为多少?(2)何时船渡河实际位移最短?此时船头指向应如何?渡河时间多少?
[提示](1)由例题2有t=,v2是不变的,所以当s2=d最短时,即船头垂直河岸指向正对岸(船在静水中的速度v2垂直河岸)时,船渡河时间最短为tmin=.
或者由表达式t=分析,当θ=90时,t最短..
V

V1

V2

d

S

O

A

B

图2-10

如图2-10所示，此时船的实际位移为s=,不是最短.
(2)由几何关系可知,当合运动的速度v方向垂直河岸时,船渡河的实际位移最短,大小为smin=d.
V1

V2

V

O

S=d

A

图2-11

如图2-11所示,此时船头指向与上游河岸的夹角α满足cosα=,渡河时间为t=.
[讨论]以上船渡河实际位移最短为smin=d，必须满足条件V2＞V1。
当V2<V1时，不管如何调整V2的方向，船的合运动方向都不可能垂直河岸方向，当船到达对岸时一定会被冲向水的下游，船渡河的实际位移一定大于河宽．那么,此时当V2的方向满足什么条件时,船渡河的实际位移最小呢？
A

B

V

V2

V1

O

α

图2-12

这是一个已知分运动求合运动的问题.．我们知道此时水流速度V1的大小和方向都是确定的，船在静水中的速度V2的大小是确定的，如果以表示水流速度V1的有向线段的箭头端为圆心，以表示船在静水中的速度V2大小的线段为半径画圆．如图2-12所示,容易看出,当合速度V的方向沿OB方向（OB与圆相切）时，V与水流速度V1的夹角最大，船渡河的实际位移最短.
此时，船头指向与上游河岸的夹角α满足cosα=，船的实际位移最短为smin=，渡河时间为t==.
当V2=V1时,船渡河的实际位移最短的情况不存在.(请读者自己思考)
【素质训练】
1、物体作竖直上抛运动,以下说法正确的是( )
A、可以看作一个竖直向上的匀速运动和一个自由落体运动的合运动
B、可以看作一个竖直向上的匀减速运动和一个自由落体运动的合运动
C、物体在最高点的速度和加速度均为零
D、物体作匀变速运动
2、某人站在电动扶梯上，经过t1时间人由一层楼随着电动扶梯升到二层楼．如果电动扶梯不动，人从一层楼沿着电动扶梯向上走，则人从一层楼到二层楼的时间是（ ）
A、t2－t1 B、
C、 D、
3、一条轮船以一定的速度垂直河岸向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是（ ）
A、水速越大，路程越长，时间越长 B、水速越大，路程越短，时间越短
C、水速越大，路程与时间都不变 D、水速越大，路程越长，时间不变
4、有一小船正在匀速横渡一条河流，离对岸50m时，得知在下游120m处有一危险区，假设水流速度5m/s，为了不通过危险区到达对岸，那么小船从现在起相对静水的最小速度应是（ ）
A、2.08m/s B、1.92m/s
θ

图2-13

C、1.58m/s D、1.42m/s
5、如图2-13所示，在水面上方高20m处，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以3m/s的速度将绳子缩短，开始时绳子与水面夹角θ=30，试求：
(1)刚开始时小船的速度.(2)5s末小船速度的大小．
6、小船匀速横渡一条河流，当船头垂直河岸方向航行时，经过10min到达正对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行时，则经过12.5 min到达正对岸.求：
(1)水流的速度. (2)船在静水中的速度. (3)河的宽度. (4)船头与上游河岸的夹角α．
【素质训练参考答案】
一、 一、              自由落体、竖直上抛运动
1、C　　　　2、　　　　　　3、B　　　　4、AC　　　　5、AC　　　　6、1/3　　　7、1.7　　　　8、7m　　　9、　⑴ 29.2m　　⑵ 20.2s
二、 二、              运动的合成与分解
1、AC 2、C 3、D 4、B 5、3.5m/s 5m/s 6、⑴ 0.2m/s ⑵ 1/3m/s ⑶ 200m ⑷ 530