北京市朝阳区2010-2011学年鹊谝谎谄谀┙萄骋患觳高三数学理科.doc

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理科） 2011.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设全集，，，则是
（A） （B） （C） （D）
2．要得到函数的图象，只要将函数的图象
（A）向左平移单位 （B）向右平移单位
（C）向右平移单位 （D）向左平移单位

3．设，，是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题
①若，，则； ②若上两点到的距离相等，则；
③若，，则； ④若，，且，则.
其中正确的命题是
（A）①② （B）②③ （C）②④ (D)③④

4．下列函数中，在内有零点且单调递增的是
（A） （B） （C） (D)

5．已知数列的前n项和为，且, 则等于
（A） 4 （B）2 （C）1 （D） -2
6.若为不等式组 表示的平面区域，则从-2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为
（A） （B） （C） (D)

7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于
（A） （B） （C） (D)

8．如图，正方体中，，分别为
棱，上的点. 已知下列判断：
①平面；②在侧面上
的正投影是面积为定值的三角形；③在平面
内总存在与平面平行的直线；④平
面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位
置无关.
其中正确判断的个数有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知，，则 .

10．如图，是⊙的直径，切⊙于点，切⊙于
点，交的延长线于点.若，，则
的长为________.

11．曲线（为参数）与曲线的直角坐标方程分别为 ， ，两条曲线的交点个数为 个.

12. 已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的
侧面积等于 .

13．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于
轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .

14． 已知数列满足：，定义使
为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
已知△中，.
（Ⅰ）求角的大小；
20070316
（Ⅱ）设向量，，求当取最小值时，
值.

16．（本小题满分13分）
C
A
B
P
如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

17．（本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性.

18．（本小题满分13分）
已知函数（为实数，，），
（Ⅰ）若， 且函数的值域为，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）设，，，且函数为偶函数，判断是
否大于？

19．（本小题满分14分）
设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
x
O
y
Q
A
·
·
F2
F1
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点
，使得以，为邻边的平行四
边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，
如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.

20．（本小题满分14分）
已知函数（，，为常数，）.
（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），
证明：；
（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，
求证：.

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
A
D
A
B

二．填空题：
题号
9
10
11
12
13
14
答案

3
,2

三．解答题：
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以. …………………… 3分
因为，所以.
所以. ……………………………………………………… 5分
因为，所以. ……………………………………… 7分
（Ⅱ）因为， ……………………………………… 8分
所以. ……………… 10分
所以当时，取得最小值.
此时（），于是. …………………………… 12分
所以. ……………………………………… 13分

16．（本小题满分13分）
C
A
B
P
E
D
解：（Ⅰ）设中点为，连结，，………… 1分
因为，所以.
又，所以. ………………… 2分
因为，所以平面.
因为平面，所以. ……… 4分
（Ⅱ）由已知，，
所以，.
又为正三角形，且，所以. …………………… 6分
因为，所以.
所以.
由（Ⅰ）知是二面角的平面角.
所以平面平面. …………………………………………… 8分
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.
过作于，连结，则.
所以是二面角的平面角. ………………………………… 10分
在中，易求得.
因为，所以. ………………………… 12分
所以.
即二面角的余弦值为. …………………………………… 13分
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直. ……………………… 9分
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
易知，，，.
x
C
A
B
P
D
y
z
所以，. ……………………… 10分
设平面的法向量为，
则 即
令，则，.
所以平面的一个法向量为. ……………………… 11分
易知平面的一个法向量为.
所以. …………………………………… 12分
由图可知，二面角为锐角.
所以二面角的余弦值为. …………………………………… 13分

17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当时，，.
所以，. ………（求导、定义域各一分） 2分
因此. 即曲线在点处的切线斜率为1. ………… 3分
又， …………………………………………………… 4分
所以曲线在点处的切线方程为. ……… 5分
（Ⅱ）因为，
所以，. ………… 7分
令，，
①当时，，，
当时，，此时，函数单调递减；……… 8分
当时，，此时，函数单调递增. …… 9分
②当时，由即解得，.
此时，
所以当时，，此时，函数单调递减；…10分
时，，此时，函数单调递增；……11分
时，，此时，函数单调递减. …12分
综上所述：
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减. …………………………………………………… 13分

18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，所以.
因为的值域为，所以 ……………………… 2分
所以. 解得，. 所以.
所以 …………………………………… 4分
（Ⅱ）因为
=， ………………………… 6分
所以当 或时单调.
即的范围是或时，是单调函数． …………… 8分
（Ⅲ）因为为偶函数，所以.
所以 ……………………………………………… 10分
因为， 依条件设，则.
又，所以.
所以. ………………………………………………………… 12分
此时.
即． ………………………………………………… 13分

19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为，
所以为中点.
设的坐标为，
因为，
所以，，且过三点的圆的圆心为，半径为. …………………………………………… 2分
因为该圆与直线相切，所以.
解得，所以，.
故所求椭圆方程为. …………………………………………… 4分
（Ⅱ）设的方程为（），
由 得.
设，，则. ………………………5分
所以.
=
.
由于菱形对角线互相垂直，则. ……………………6分
所以.
故.
因为，所以.
所以
即.
所以
解得. 即.
因为，所以.
故存在满足题意的点且的取值范围是. ……………………… 8分
（Ⅲ）①当直线斜率存在时，
设直线方程为，代入椭圆方程
得.
由，得. …………………………………………………… 9分
设，，
则，.
又，所以. 所以. …… 10分
所以，.
所以. 所以.
整理得. …………………………………………… 11分
因为，所以. 即. 所以.
解得.
又，所以. …………………………………… 13分
②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时，，，，
，所以.
所以，即所求的取值范围是. ……………… 14分

20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依条件有.
因为点在函数的图象上，所以.
因为，
所以是首项是，公差为的等差数列. …………………… 1分
所以.
即数列的前项和. ……………………………… 2分
（Ⅱ）证明：依条件有 即解得
所以.
所以 ……………………………………… 3分
因为=
，
又，所以.
即. …………………………………………………… 5分
（Ⅲ）依条件.
因为为奇函数，所以.
即. 解得. 所以.
又，所以.
故. ……………………………………………………………6分
因为，所以. 所以时，有（）.
又，
若，则. 从而. 这与矛盾.
所以. …………………………………………………………… 8分
所以.
所以. ………………10分
所以

. …………………12分
因为，，所以. 所以.
所以. …14分

13