数学解题真经(一)问题与信息.doc

问题解决与问题信息
我们通常把数学问题（常见的习题）的结构分为两部分。题设条件(已知部分)和结论(未知部分)。这种认识是针对问题的组成结构而言的，远离了问题解决的过程。其实，问题解决是问题与人的思维活动相互作用的结果，人在认识和解决一个问题时，并不十分关注问题的结构，而是重视问题呈现的有意义的材料，特别是主观认为与问题解决有关的问题信息。
信息加工理论认为：“人的大脑是一台类似计算机的信息处理装置，我们在解题时，就如一台计算机那样，接受信息，加工信息，作出反应。”当然，人脑远非计算机可比，除了能进行思维活动外，还有精神、情感和意志。这一观点虽然抛弃了人的情感、动机、社会交流等外在和内部因素，但它把问题作为一组信息看待，用计算机的操作规程来模拟人的思维活动，也近似地描述了问题解决的过程。所以，在解题过程中我们不能把问题的条件和结论孤立地看待，它们都是问题信息的组成部分，应当联系地整体地思考和研究。
（一）问题结论所蕴藏的信息对问题解决有着不可忽视的作用
我们在解题过程中，通常重视问题的条件信息，轻视问题的结论信息，认为条件才是问题解决的基础材料，结论是问题解决所追求的终极目标。其实，这是一种片面的认识，问题结论所隐藏的信息又何尝不是问题解决的基础，同样也存在着不可忽视的作用。
例1 已知A、B、C为锐角，且.
求证 ++.
这个问题呈现的信息有3项：①A、B、C(0、)；②A、B、C的关系式；
③A、B、C的正切函数关系式.
++ (1)
可以看出：条件信息①②只是角的关系式，丝毫没有体现与结论“正切函数关系式”的联系，对解题思路既不能明导也不能暗示。相反，结论信息（1）式“左边为3个根式的和，右边为常数”，这为我们寻找解题方案作出了暗示，我们只要回想自己的认知经验，立即可以想到“去掉根号化为整式，有利于进一步化简和推理”。（这就是问题解决的假设方案）
如何才能去掉根号呢？只需利用 “均值不等式”或“柯西不等式”就可实现这一条解题方案。
（为什么要添系数？）
，
从而，左边 (2)
可见，要解答此题，只需证明 即可。（这是中学熟知的结论）
从此题的解答来看。条件信息只是保证根式有意义和式子
成立而已，对探求解题思路的作用不大；而结论信息反而为解题提供明确的思路──去根号。就提供解题策略而言，条件作用弱，结论作用大。于是我们可以得到一点解题经验：对于题设简单，结论复杂的数学综合题，挖掘问题结论所隐藏的信息，是寻找解题思路的一条途径。
（二）问题结论不一定是问题解决过程中追求的重点目标
问题的结论既是一组信息，也是我们解题时所追求的终极目标，但并不一定是解题过程中追求的重点目标。重点目标有可能是问题结论的反面，或者是一个矛盾，或者是与结论相关的等价的另一问题……只要我们对问题的所有信息进行综合加工处理，重点目标必将浮现出来。
例2 设且，求证。
结论信息是关于的对称轮换式，易知当时不等式取“=”.于是我们联想到磨光变换.
不妨设，则，设.
令，则。
。(这是磨光变换中常用的技巧)
因
。
因，则。（此题可用增量法证明）
此题的终极目标是证明成立，加工处理问题信息后，我们想到了磨光变换。此时，问题解决的重点目标已转化为证明成立.
从上述论述来看，问题解决最重要的环节是解题思路的探求，在解题思路的探求过程中，条件非解题的唯一条件，结论非一成不变的结论。将问题的条件信息和结论信息联系地整体地思考和研究，结合大脑中储备的与问题有关的知识经验进行综合加工，才有利于发现问题解决的重点目标，探求到合理而有效的解题方案。
（三）问题信息的分类
为了深入理解问题的信息，我们根据其表现形式分为以下三类。
1．形象信息。 数学问题中以图形，表格等直观形象的形式表达出来的信息，称为形象信息。如几何图形，函数图象，坐标系，表格等，呈现给我们的是直观形象的感性材料。
2．符号信息。 用字母、数字、数学式子等形式表达的信息。呈现给我们的是抽象的数学符号，通常称为数的信息。
3．语词信息。 就是用有意义的语词来表达的信息，也就是用汉语、数学语言来表达的数量关系、概念和数学问题中的解释、说明。
这三类信息既有区别又有联系。虽然在表达形式上不同，但在解题过程中是可以互相转化的。在解答平面几何和解析几何问题时，我们常常根据题意作出草图，这就是把语词信息向形象信息转化。又如，用解析法解答平面几何问题时，又把形象信息转化为符号信息和语词信息。解题者总是根据自己的认知经验和思维习惯将三类信息相互转化。总之，三类信息不能完全割裂，只是为了便于理解才以此分类和定义。