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高考名师预测数学试题:知识点06函数与导数.doc

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高考猜题 专题06 函数与导数 甘肃天水市第一中学(741000) 一.选择题(共6小题,每小题5分,共30分) 1.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 (   ) A.53 B.54   C.35 D.45 2.是定义在R上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3 已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则= A. B. C. D. 4.若函数在区间[—1,1]上没有零点,则函数的递减区间是( ) A. B. C. D. 5.若定义运算(*b)=则函数(3x*3-x)的值域是 ( ) A.(0,1) B.[1,+∞] C.(0.+∞) D.(-∞,+∞) 6.设在内单调递增,函数不存在零点则是的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设函数定义在实数集上,它的图像关于直线对称,且当时, ,则有 ( ) A. B. C. D. 8.已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行,若在区间上单调递减,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.设,则的值为 ( ) A. B. C. D. 10、 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25, 则可以是 A. B. C. D. 11.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处的切线方程为 ( ) A.    B.   C.   D. 12.已知函数是偶函数,当时,恒成立,设 ,则的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.设,则曲线在处切线的斜率为 . 14.若函数f(x)=x3-3bx+b在区间(0,1)内有极小值,则b应满足的条件是 ; 15 函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为 . 16、在下列四个函数、 、 、中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意,恒成立”的只有 . 三.解答题(共6小题,17题10分,18-22题12分,共70分) 17.已知函数 (I)若函数在时取到极值,求实数的值; (II)试讨论函数的单调性; (III)当时,在曲线上是否存在这样的两点A,B,使得在点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,若存在,试求的取值范围;若不存在,请说明理由. 18、已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。 (1)讨论f(x)的单调性。 (2)证明:(1+)(1+)…(1+)<e (n∈N*,n≥2,其中无理数e=2.71828…) 19.(本题满分12分)设函数。 (1)若函数是定义域上的单调函数,求实数的取值范围; (2)求函数的极值点。 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=loga是奇函数(a>0,a≠1)。 (Ⅰ) 求m的值; (Ⅱ) 求f′(x)和函数f(x)的单调区间; (Ⅲ) 若当xÎ(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+¥),求实数a的值。 21.(本小题满分12分) 已知函数的导函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上. (Ⅰ)求数列的通项公式及的最大值; (Ⅱ)令,其中,求的前项和. 22.(本小题满分12分) 设函数. (Ⅰ)当时,求的极值; (Ⅱ)当时,求的单调区间; (Ⅲ)当时,对任意的正整数,在区间上总有个数使得 成立,试问:正整数是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由. 答案 一.选择题(共6小题,每小题5分,共30分) 1.B 解析:,∴点点切线的斜率,其切线方程为: ,其在轴上的截距分别为2,, ∴切线与坐标轴围成的三角形的面积.故选B. 2答案.D  提示:由题意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间(0,6)内f(x)=0的解的个数的最小值是5,选(D) 3 解析 ∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)且3+log23>4 ∴=f(3+log23) =故选A 4.C 解析:由题意,,解得,故。由解得,所以的递减区间是 5答案.解析:A.当x>0时;(3x*3-x)=3-x, 当x=0时,(30*30)=30=1, 当x<0时,(3x*3-x)=3x, 故选A. 6.【解析】B 在内单调递增,则在上恒成立,即在上恒成立,即,即;不存在零点,则,即。故成立不一定成立,成立一定成立,故是的必要不充分条件。正确选项B。 7.【解析】A 当时,,故函数在单调递减,,,, 故,即。正确选项A。或者根据图象的对称性,离距离近的函数值大解决。 8.B 解析:,则,又,解得 ,所以,,由在区间上单调递减知,解得。 9.解析:C ,故选C. 10 答案 A 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点,因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,只有的零点适合,故选A。 11.【解析】A 由已知,而,所以,即切线斜率为,又,故,故曲线在点处的切线方程为,即,故选A。 12.A 解析:∵函数是偶函数 ∴ ∴函数的图像关于对称。由时,恒成立可知:函数在上单调递增,则在上单调递减。于是。 二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13. 解析:=,于是曲线, ,∴在处切线的斜率为:。 14.解析:填(0,1),因为f '(x)的图象是开口向上的抛物线,在“f '(x)=0的大根x0处”当x从x0左侧变化到x0右侧时,f '(x)的值“由负变正”,所以大根x0应为函数f(x)的极小值. 因为f '(x)=3x2-3b.令f'(x)=0,得x=±,函数f(x)在区间(0,1)内有极小值即“f '(x)=0的大根” ∈(0,1),所以b∈(0,1). 15 答案 8 16解析:当时, , 所以恒成立,填 三.解答题(共6小题,17题10分,18-22题12分,共70分) 17. ( ) (I)∵函数在时取到极值 ∴ 解得 经检验函数在时取到极小值(不检验扣1分)高/考/资*源*网 ∴实数的值-2 (II)由得或 ①当时, 由得 由得 ∴函数得单调增区间为 ,单调减区间为 ②当时,,同理可得函数得单调增区间为,单调减区间为 (II)假设存在满足要求的两点A,B,即在点A、B处的切线都与y轴垂直,则即解得或 ∴A,B 又线段AB与x轴有公共点,∴, 即 又,解得 所以当时,存在满足要求的点A、 B. 18、解:(理)(1)f′(x)=-+a= (i)若a=0时,f′(x)= >0x>0,f′(x)<0x<0 ∴f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减。 (ii)若时,f′(x)≤0对x∈R恒成立。 ∴f(x)在R上单调递减。 (iii)若-1<a<0,由f′(x)>0ax2+2x+a>0<x< 由f′(x)<0可得x>或x< ∴f(x)在[,]单调递增 在(-∞,],[上单调递减。 综上所述:若a≤-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。 (2)由(1)当a=-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。 当x∈(0,+∞)时f(x)<f(0) ∴ln(1+x2)-x<0 即ln(1+x2)<x ∴ln[(1+)(1+)……(1+)] =ln[(1+)(1+)+…ln(1+)<++…+ <=1-+-+…+=1-<1 ∴(1+)(1+)……(1+)<e 19.【解析】(1),若函数是定义域上的单调函数,则只能在上恒成立,即在上恒成立恒成立,令,则函数图象的对称轴方程是,故只要恒成立,即只要。(5分) (2)有(1)知当时,的点是导数不变号的点, 故时,函数无极值点; 当时,的根是, 若,,此时,,且在上, 在上,故函数有唯一的极小值点;(7分) 当时,,此时, 在都大于,在上小于 , 此时有一个极大值点和一个极小值点.(11分) 综上可知,时,在上有唯一的极小值点; 时,有一个极大值点和一个极小值点; 时,函数在上无极值点。(12分) 20.解析:(Ⅰ) 依题意,f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0, 即loga+loga=0, ∴∙=1,m2x2-1=x2-1,1-m2=0,∴m=-1或m=1(不合题意,舍去) 当m=-1时f(x)的定义域为>0,即xÎ(-¥,-1)∪(1,+¥), 又有f(-x)=-f(x), ∴m=-1是符合题意的解 (3分) (Ⅱ) ∵f(x)=loga , ∴f′(x)=()′logae=∙logae=logae (5分) ① 若a>1,则logae>0 当xÎ(1,+¥)时,1-x2<0,∴f′(x)<0,f(x)在(1,+¥)上单调递减, 即(1,+¥)是f(x)的单调递减区间; 由奇函数的性质,(-¥,-1)是f(x)的单调递减区间 ② 若0<a<1,则logae<0 当xÎ(1,+¥)时,1-x2<0,∴f′(x)>0, ∴(1,+¥) 是f(x)的单调递增区间;由奇函数的性质, (-¥,-1)是f(x)的单调递增区间 (8分) (Ⅲ) 令t==1+,则t为x的减函数 当xÎ(1,a-2)(1,+¥),即当1<a-2时, 有a>3,且tÎ(1+,+¥)要使f(x)的值域为(1,+¥), 需loga(1+)=l,解得a=2+ 21.解:(Ⅰ), 由得:,所以 又因为点均在函数的图象上,所以有 当时, 当时,, 令得,当或时,取得最大值 综上, ,当或时,取得最大值 (Ⅱ)由题意得 所以,即数列是首项为,公比是的等比数列 故的前项和………………① …………② 所以①②得: 22.解:(I)函数的定义域为.   当时,,∴. 由得. ,随变化如下表: 减 0 增 - 极小值 + 由上表可知,,没有极大值. (II)由题意,.   令得,.    若,由得;由得.  若, ①当时,,或,;,. ②当时,. ③当时,,或,;,. 综上,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为; 当时,函数的单调递减区间为,,单调递增区间为; 当时,函数的单调减区间是, 当时,函数的单调递减区间为,,单调递增区间为. (Ⅲ) 当时,,. ∵,∴.   ∴,.  由题意,恒成立. 令,且在上单调递增, ,因此,而是正整数,故, 所以时,存在,时,对所有满足题意. ∴.  - 12 -
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