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高考猜题
专题06 函数与导数
甘肃天水市第一中学(741000)
一.选择题(共6小题,每小题5分,共30分)
1.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 ( )
A.53 B.54 C.35 D.45
2.是定义在R上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3 已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则=
A. B. C. D.
4.若函数在区间[—1,1]上没有零点,则函数的递减区间是( )
A. B. C. D.
5.若定义运算(*b)=则函数(3x*3-x)的值域是 ( )
A.(0,1) B.[1,+∞] C.(0.+∞) D.(-∞,+∞)
6.设在内单调递增,函数不存在零点则是的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.设函数定义在实数集上,它的图像关于直线对称,且当时,
,则有 ( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行,若在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设,则的值为 ( )
A. B. C. D.
10、 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25, 则可以是
A. B.
C. D.
11.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处的切线方程为 ( )
A. B. C. D.
12.已知函数是偶函数,当时,恒成立,设
,则的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.设,则曲线在处切线的斜率为 .
14.若函数f(x)=x3-3bx+b在区间(0,1)内有极小值,则b应满足的条件是 ;
15 函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为 .
16、在下列四个函数、 、 、中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意,恒成立”的只有 .
三.解答题(共6小题,17题10分,18-22题12分,共70分)
17.已知函数
(I)若函数在时取到极值,求实数的值;
(II)试讨论函数的单调性;
(III)当时,在曲线上是否存在这样的两点A,B,使得在点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,若存在,试求的取值范围;若不存在,请说明理由.
18、已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。
(1)讨论f(x)的单调性。
(2)证明:(1+)(1+)…(1+)<e (n∈N*,n≥2,其中无理数e=2.71828…)
19.(本题满分12分)设函数。
(1)若函数是定义域上的单调函数,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值点。
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=loga是奇函数(a>0,a≠1)。
(Ⅰ) 求m的值;
(Ⅱ) 求f′(x)和函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ) 若当xÎ(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+¥),求实数a的值。
21.(本小题满分12分)
已知函数的导函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式及的最大值;
(Ⅱ)令,其中,求的前项和.
22.(本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)当时,求的单调区间;
(Ⅲ)当时,对任意的正整数,在区间上总有个数使得
成立,试问:正整数是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.
答案
一.选择题(共6小题,每小题5分,共30分)
1.B 解析:,∴点点切线的斜率,其切线方程为:
,其在轴上的截距分别为2,,
∴切线与坐标轴围成的三角形的面积.故选B.
2答案.D 提示:由题意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间(0,6)内f(x)=0的解的个数的最小值是5,选(D)
3 解析 ∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)且3+log23>4
∴=f(3+log23)
=故选A
4.C 解析:由题意,,解得,故。由解得,所以的递减区间是
5答案.解析:A.当x>0时;(3x*3-x)=3-x, 当x=0时,(30*30)=30=1,
当x<0时,(3x*3-x)=3x, 故选A.
6.【解析】B 在内单调递增,则在上恒成立,即在上恒成立,即,即;不存在零点,则,即。故成立不一定成立,成立一定成立,故是的必要不充分条件。正确选项B。
7.【解析】A 当时,,故函数在单调递减,,,,
故,即。正确选项A。或者根据图象的对称性,离距离近的函数值大解决。
8.B 解析:,则,又,解得
,所以,,由在区间上单调递减知,解得。
9.解析:C
,故选C.
10 答案 A
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点,因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,只有的零点适合,故选A。
11.【解析】A 由已知,而,所以,即切线斜率为,又,故,故曲线在点处的切线方程为,即,故选A。
12.A
解析:∵函数是偶函数 ∴
∴函数的图像关于对称。由时,恒成立可知:函数在上单调递增,则在上单调递减。于是。
二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.
解析:=,于是曲线,
,∴在处切线的斜率为:。
14.解析:填(0,1),因为f '(x)的图象是开口向上的抛物线,在“f '(x)=0的大根x0处”当x从x0左侧变化到x0右侧时,f '(x)的值“由负变正”,所以大根x0应为函数f(x)的极小值.
因为f '(x)=3x2-3b.令f'(x)=0,得x=±,函数f(x)在区间(0,1)内有极小值即“f '(x)=0的大根” ∈(0,1),所以b∈(0,1).
15 答案 8
16解析:当时, ,
所以恒成立,填
三.解答题(共6小题,17题10分,18-22题12分,共70分)
17. ( )
(I)∵函数在时取到极值
∴ 解得
经检验函数在时取到极小值(不检验扣1分)高/考/资*源*网
∴实数的值-2
(II)由得或
①当时,
由得
由得
∴函数得单调增区间为 ,单调减区间为
②当时,,同理可得函数得单调增区间为,单调减区间为
(II)假设存在满足要求的两点A,B,即在点A、B处的切线都与y轴垂直,则即解得或
∴A,B
又线段AB与x轴有公共点,∴,
即 又,解得
所以当时,存在满足要求的点A、 B.
18、解:(理)(1)f′(x)=-+a=
(i)若a=0时,f′(x)= >0x>0,f′(x)<0x<0
∴f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减。
(ii)若时,f′(x)≤0对x∈R恒成立。
∴f(x)在R上单调递减。
(iii)若-1<a<0,由f′(x)>0ax2+2x+a>0<x<
由f′(x)<0可得x>或x<
∴f(x)在[,]单调递增
在(-∞,],[上单调递减。
综上所述:若a≤-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。
(2)由(1)当a=-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。
当x∈(0,+∞)时f(x)<f(0)
∴ln(1+x2)-x<0 即ln(1+x2)<x
∴ln[(1+)(1+)……(1+)]
=ln[(1+)(1+)+…ln(1+)<++…+
<=1-+-+…+=1-<1
∴(1+)(1+)……(1+)<e
19.【解析】(1),若函数是定义域上的单调函数,则只能在上恒成立,即在上恒成立恒成立,令,则函数图象的对称轴方程是,故只要恒成立,即只要。(5分)
(2)有(1)知当时,的点是导数不变号的点,
故时,函数无极值点;
当时,的根是,
若,,此时,,且在上,
在上,故函数有唯一的极小值点;(7分)
当时,,此时,
在都大于,在上小于 ,
此时有一个极大值点和一个极小值点.(11分)
综上可知,时,在上有唯一的极小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;
时,函数在上无极值点。(12分)
20.解析:(Ⅰ) 依题意,f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0,
即loga+loga=0,
∴∙=1,m2x2-1=x2-1,1-m2=0,∴m=-1或m=1(不合题意,舍去)
当m=-1时f(x)的定义域为>0,即xÎ(-¥,-1)∪(1,+¥),
又有f(-x)=-f(x),
∴m=-1是符合题意的解 (3分)
(Ⅱ) ∵f(x)=loga ,
∴f′(x)=()′logae=∙logae=logae (5分)
① 若a>1,则logae>0
当xÎ(1,+¥)时,1-x2<0,∴f′(x)<0,f(x)在(1,+¥)上单调递减,
即(1,+¥)是f(x)的单调递减区间;
由奇函数的性质,(-¥,-1)是f(x)的单调递减区间
② 若0<a<1,则logae<0
当xÎ(1,+¥)时,1-x2<0,∴f′(x)>0,
∴(1,+¥) 是f(x)的单调递增区间;由奇函数的性质,
(-¥,-1)是f(x)的单调递增区间 (8分)
(Ⅲ) 令t==1+,则t为x的减函数
当xÎ(1,a-2)(1,+¥),即当1<a-2时,
有a>3,且tÎ(1+,+¥)要使f(x)的值域为(1,+¥),
需loga(1+)=l,解得a=2+
21.解:(Ⅰ),
由得:,所以
又因为点均在函数的图象上,所以有
当时,
当时,,
令得,当或时,取得最大值
综上, ,当或时,取得最大值
(Ⅱ)由题意得
所以,即数列是首项为,公比是的等比数列
故的前项和………………①
…………②
所以①②得:
22.解:(I)函数的定义域为.
当时,,∴.
由得.
,随变化如下表:
减
0
增
-
极小值
+
由上表可知,,没有极大值.
(II)由题意,.
令得,.
若,由得;由得.
若,
①当时,,或,;,.
②当时,.
③当时,,或,;,.
综上,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
当时,函数的单调递减区间为,,单调递增区间为;
当时,函数的单调减区间是,
当时,函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.
(Ⅲ) 当时,,.
∵,∴.
∴,.
由题意,恒成立.
令,且在上单调递增,
,因此,而是正整数,故,
所以时,存在,时,对所有满足题意.
∴.
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