第9讲等差数列及等比数列.doc

第9讲 等差数列和等比数列
一、本讲目标：1、根据定义判断一个数列是否为等差数列或等比数列；2、熟练应用等差数列和等比数列的通项公式、求和公式及基本性质计算相关数值；3、分析解决等差等比数列的综合问题。
二、知识要点：
1．等差数列中：
（1）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法；
（2）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；
（3）；；
（4），，；
（5）成等差数列；
(6)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和；
2．等比数列中：
（1）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法；
（2）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性；
（3）； ；
（4）.
（5）成等比数列；
（6）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数同号时，实数存在等比中项.对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.
3．等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列.
(2)如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列.
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
三、例题选讲
例1．（2000年全国高中数学联赛）给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q。若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程（　 ）
A．无实根　　　　 　　　　　　　　 B．有两个相等实根
C．有两个同号相异实根　 　　　　　 D．有两个异号实根

例2．在等比数列{an}中，，公比，且，a3与a5的等比中项为2。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。

例3．设等比数列的公比为，前n项和。
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小。

例4．已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

例5．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足
。
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。

　　例6．已知数列为等差数列（公差），中的部分项组成数列，恰为等比数列，其中，求的值．

例7．（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当时，求的数值；②求的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

例8．设，关于的方程的4个实根构成以为公比的等比数列，若，求的取值范围。

例9．设和分别是等差数列和等比数列，且，试比较和的大小。

例10． n2(n≥4)个正数排成n行n列
a11 a12 a13 a14…… a1n
a21 a22 a23 a24…… a2n
a31 a32 a33 a34…… a3n
a41 a42 a43 a44…… a4n
… … … … …… …
an1 an2 an3 an4…… ann
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,
a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）

四、巩固练习：
1．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于（ ）
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 .
2．已知为等差数列，，则等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
3．已知等比数列满足，且，则当时， （ ）
A. B. C. D.
４．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前n项和的计算公式为 .
5．设等差数列的前项和为，若则 .
6．（2000年全国高中数学联赛）等比数列，，的公比是_________。
７．已知(b－c)logm x+(c－a)logm y+(a－b)logm z＝0…… ①
(1) 若a、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证x、y、z成等比数列；
(2) 若x、y、z依次成等比数列，且公比不为1，求证a、b、c成等差数列．

８．数列是递增的等比数列，且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求证数列是等差数列;

9．已知数列为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明

10．（2000年全国高中数学联赛）设，n∈N。求的最大值。
8